进阶组合数问题

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Herio 2022-01-21 09:58:08 博主文章分类：组合数学 ©著作权

文章标签 费马小定理组合数取模 文章分类 代码人生

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进阶组合数问题

C ( n , m ) C(n,m) C(n,m)当 n n n较大, m m m较小时。

如 C ( 1 0 9 , 1 0 5 ) ( m o d p ) , p > 1 0 9 C(10^9,10^5)\pmod{p},p>10^9 C(109,105)(modp),p>109

这时候不能用预处理阶乘+费马小定理做。

而是回归定义：

C ( n , m ) = n ! m ! ( n − m ) ! = ( n − m + 1 ) × ( n − m + 2 ) ⋯ × n m ! C(n,m)=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}=\dfrac{(n-m+1)\times (n-m+2)\dots\times n}{m!} C(n,m)=m!(n−m)!n!=m!(n−m+1)×(n−m+2)⋯×n

复杂度： O ( m + l o g m ) O(m+logm) O(m+logm)

l o g m logm logm是下面的逆元，使用费马小定理即可。

当 C ( n , m ) ( m o d p ) C(n,m)\pmod p C(n,m)(modp)的 p p p较小时，不能用 k s m + ksm+ ksm+费马小定理了，因为 n ≥ p n\ge p n≥p，在计算式时我们取模 f a c [ n ] ( m o d p ) fac[n]\pmod p fac[n](modp)会变成0，导致答案不对。

所以要利用 L u c a s Lucas Lucas定理进行计算！