题目描述
组合数表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子,从(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有(1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义,我们可以给出计算组合数的一般公式:
其中n! = 1 × 2 × · · · × n
小葱想知道如果给定n,m和k,对于所有的0 <= i <= n,0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足是k的倍数。
输入输出格式
输入格式:
第一行有两个整数t,k,其中t代表该测试点总共有多少组测试数据,k的意义见 【问题描述】。
接下来t行每行两个整数n,m,其中n,m的意义见【问题描述】。
输出格式:
t行,每行一个整数代表答案。
输入输出样例
输入样例#1:
1 2
3 3
输出样例#1:
1
输入样例#2:
2 5
4 5
6 7
输出样例#2:
0
7
说明
【样例1说明】
在所有可能的情况中,只有是2的倍数。
【子任务】
终于开始填noip的坑了.
分析:其实对于组合数,我们有一个公式:c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j],但是如果n达到2000,这个数可能会超级大,于是蒟蒻的我在考场上写高精度......其实完全不需要,既然要求mod k = 0的个数,那么我们可以利用公式(a + b) mod c == (a mod c + b mod c) mod c,然后每算出一个c,我们就能根据它是不是0来判断它是不是k的倍数,那么如何求c[0][0]到c[n][m]整除k的个数呢?一般而言,求和要用到前缀和,本题要用到二维前缀和,sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + ok[i][j],优化一下时间,看到t很大,先预处理(2000,2000)的组合数即可.
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
int t, k, n, m,ans[2010][2010],c[2010][2010],ok[2010][2010];
void init()
{
c[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= 2000; i++)
{
c[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= i; j++)
{
c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % k;
if (c[i][j] == 0)
ok[i][j] = 1;
}
}
for (int i = 1; i <= 2000; i++)
for (int j = 1; j <= 2000; j++)
ans[i][j] = ans[i - 1][j] + ans[i][j - 1] - ans[i - 1][j - 1] + ok[i][j];
}
int main()
{
scanf("%d%d", &t, &k);
init();
for (int i = 1; i <= t; i++)
{
scanf("%d%d", &n, &m);
printf("%d\n", ans[n][m]);
}
return 0;
}