若：
∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1∑∞un收敛。
则 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}u_n n=1∑∞(−1)nun 不一定收敛。
总结如下：
一个常见的Trick：
两个数列： a n , b n , lim n → ∞ a n = 0 a_n,b_n,\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n=0 an,bn,n→∞liman=0
则，若 ∑ n = 1 ∞ ∣ b n ∣ \sum\limits_{n=1}^{\infty} |b_n| n=1∑∞∣bn∣ 收敛，则 ∑ n = 1 ∞ a n 2 b n 2 \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2b_n^2 n=1∑∞an2bn2 收敛。
对于 ∀ ϵ > 0 , ∃ N > 0 \forall \epsilon>0,\exist N>0 ∀ϵ>0,∃N>0 当 n > N 1 n>N_1 n>N1时 ∣ a n − 0 ∣ < ϵ |a_n-0|<\epsilon ∣an−0∣<ϵ ，取 ϵ = 1 \epsilon =1 ϵ=1，则有： ∣ a n ∣ < 1 |a_n|<1 ∣an∣<1。
同理可证当 n > N 2 n>N_2 n>N2， ∣ b n ∣ < 1 |b_n|<1 ∣bn∣<1。
因此当 n > N 1 + N 2 n>N_1+N_2 n>N1+N2时有： 0 ≤ a n 2 b n 2 < b n 2 < ∣ b n ∣ × 1 = ∣ b n ∣ 0\le a_n^2b_n^2<b_n^2<|b_n|\times 1=|b_n| 0≤an2bn2<bn2<∣bn∣×1=∣bn∣ ，由比较判别法证毕。
