题目描述
统计所有小于非负整数 n 的质数的数量。
示例 1：
输入：n = 10
输出：4
解释：小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。
示例 2：
输入：n = 0
输出：0
示例 3：
输入：n = 1
输出：0
提示：0 <= n <= 5 * 106
思路一：暴力破解（超时）
很直观的思路是我们枚举每个数判断其是不是质数。
考虑质数的定义：在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数。因此对于每个数 x，我们可以从小到大枚举 [2,x-1] 中的每个数 y，判断 y 是否为 x 的因数。但这样判断一个数是否为质数的时间复杂度最差情况下会到 O(n)，无法通过所有测试数据。
class Solution {
public:
int countPrimes(int n) {
int cnt=0;
for(int i=2;i<n;i++){
if(isPrime(i)){
cnt++;
}
}
return cnt;
}
bool isPrime(int m){
if(m==0||m==1){
return true;
}
for(int i=2;i<m;i++){
if(m%i==0){
return false;
}
}
return true;
}
};复杂度分析
时间复杂度：O(n^2)。
空间复杂度：O(1)。
思路二：
考虑到如果 y 是 x的因数，那么 x/y也必然是 x 的因数，因此我们只要校验 y或者x/y即可。而如果我们每次选择校验两者中的较小数，则不难发现较小数一定落在 [2,sqrt(x)]的区间中，因此我们只需要枚举 [2,sqrt(x)]中的所有数即可，这样单次检查的时间复杂度从 O(n) 降低至了 O(sqr(n))
class Solution {
public:
int countPrimes(int n) {
int cnt=0;
for(int i=2;i<n;i++){
if(isPrime(i)){
cnt++;
}
}
return cnt;
}
bool isPrime(int m){
if(m==0||m==1){
return true;
}
for(int i=2;i*i<=m;i++){
if(m%i==0){
return false;
}
}
return true;
}
};复杂度分析
时间复杂度：O(n*sqrt(n))。单个数检查的时间复杂度为 O(sqrt(n))，一共要检查 O(n) 个数，因此总时间复杂度为 O(n*sqrt(n))
空间复杂度：O(1)。
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