在上篇算法题的文章中，我们介绍了 LeetCode 中的一道数学题 - 快乐数 。今天，我们来聊聊质数(英文是Prime，也称为素数)相关的面试题。以前很多编程书上会有个经典问题，即判断一个数是否是质数，在那之后大家应该对判定质数的逻辑有了一定的认识。今天呢，我们来解决一个进阶问题，如何计算一个区间内素数(质数)的数量。

LeetCode面试系列 第5天：No.204 - 统计质数_Python

今天要给大家分析的面试题是 LeetCode 上第 204 号问题，

LeetCode - 204. 统计质数

https://leetcode-cn.com/problems/count-primes/


题目描述

统计所有小于非负整数 n 的质数的数量。

示例:

输入: 10输出: 4解释: 小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。



  • 贡献者: LeetCode


  • 题目难度: Easy

  • 通过率: 30.23%


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解题思路:

  1. 遍历每个数，判断它是否为素数。

基于传统教科书中的算法 IsPrime(其流程见下图)来做，即在 IsPrime算法外套一个循环来做，由于下面流程的时间复杂度 T(n) = O(n*log n)，于是整体算下来整个算法最后的时间复杂度为 O(n * n * log n)，这个算法的时间复杂度是不达标的。

LeetCode面试系列 第5天：No.204 - 统计质数_Python_02

    2. 使用一个筛子，把每一个是合数的数干掉，记录其状态 isDelete，用isDelete=true表示不是质数，已被删掉，而fasle表示留下了，是质数。这个方法被称为筛法(Sieve Method)。

LeetCode面试系列 第5天：No.204 - 统计质数_Python_03

筛法又分为埃拉托斯特尼筛法（埃筛）和欧拉筛（线性筛）两种。埃筛是用一个数组标记是否为素数，然后依次筛去这个素数的倍数，其时间复杂度是O(n*log n)。而欧拉筛是在埃筛的基础上，让每一个合数都只被他的最小质因子筛去，从而减小时间。欧拉筛的复杂度几乎是O(n)，由于其代码相对比较难理解，就不详细介绍了。

下面我们使用埃筛来统计质数数量，具体操作是从2开始维护一个bool数组isDelete来记录该数是否被删掉，依次删掉当前索引 i 的倍数，最后数组中未被删掉的值(其isDelete值为false)都是素数。


已AC代码 解法1:

  1. class Solution:
  2.  def countPrimes(self, n: int) -> int:
  3.  if n < 2:
  4.  return 0
  5.  else:
  6.             isDelete = [False]*n
  7.             max0 = int(math.sqrt(n))
  8.             count = 0
  9.  for i in range(2, n):
  10.  if isDelete[i] == True:
  11.  continue
  12.                 count += 1

  14.  if i > max0:
  15.  continue

  17.  for j in range(i*i, n, i):
  18.                     isDelete[j] = True
  19.  return count

ps: 由于这段代码使用了数学库函数 sqrt()，于是本地测试需要在开头引入 math库，其代码如下:
  1. import math
  2. class Solution:
  3.  def countPrimes(self, n: int) -> int:
  4.  if n < 2:
  5.  return 0
  6.  else:
  7.             isDelete = [False]*n
  8.             max0 = int(math.sqrt(n))
  9.             count = 0
  10.  for i in range(2, n):
  11.  if isDelete[i] == True:
  12.  continue
  13.                 count += 1

  15.  if i > max0:
  16.  continue

  18.  for j in range(i*i, n, i):
  19.                     isDelete[j] = True
  20.  return count

  22. sol = Solution()
  23. print(sol.countPrimes(5566))

LeetCode面试系列 第5天：No.204 - 统计质数_Python_04
执行用时 : 492ms, 在所有 Python3 提交中击败了 47.44%的用户.

已AC代码 解法2:
  1. class Solution:
  2.  def countPrimes(self, n: int) -> int:
  3.  if n < 2:
  4.  return 0
  5.  else:
  6.             isPrime = [1]*n  # isPrime = not deleted
  7.             isPrime[0] = 0
  8.             isPrime[1] = 0

  10.  for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
  11.  if isPrime[i]:
  12.                     isPrime[i*i:n:i] = [0]*((n-1-i*i)//i + 1) # slice: a[start:stop:step] # items from the beginning through stop-1
  13.  return sum(isPrime)
LeetCode面试系列 第5天：No.204 - 统计质数_Python_05
执行用时 : 100ms, 在所有 Python3 提交中击败了 94.27%的用户.

参考资料:
Eratosthenes筛法(埃式筛法)时间复杂度分析 - Gavin_Nicholas的博客 - CSDN
https://blog.csdn.net/Gavin_Nicholas/article/details/88974079

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          LeetCode面试系列 第4天：No.202 - 快乐数


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