【HDU 5363】Key Set（和为偶数的子集个数）

题

Description

soda has a set $S$ with $n$ integers $\{1, 2, \dots, n\}$. A set is called key set if the sum of integers in the set is an even number. He wants to know how many nonempty subsets of $S$ are key set.

 

Input

There are multiple test cases. The first line of input contains an integer $T$ $(1 \le T \le 10^5)$, indicating the number of test cases. For each test case: 

The first line contains an integer $n$ $(1 \le n \le 10^9)$, the number of integers in the set.

 

Output

For each test case, output the number of key sets modulo 1000000007.

 

Sample Input

4

1

2

3

4

 

Sample Output

0

1

3

7

题意：

求1 2 3 ... n 的 所有子集中和为偶数的子集个数，mod 1000000007

分析：

数学归纳法证明和为偶数的子集有2^n-1-1个：

1. 当n=1时，有a₁=0个
2. 假设n=k时，有a_k=2^k-1-1个子集和为偶数，

• 若k+1为偶数，则a_k个子集加上这个偶数，和还是偶数，这个偶数单独一个集合，和就是这个偶数，a_k+1=a_k*2+1=2^k-1
• 　若k+1为奇数，前k个数共有2^k个子集，其中一个空集和为0，和为奇数的子集有2^k-1-a_k=2^k-1个，和为奇数的子集加上k+1这个数，和变成了偶数，因此a_k+1=a_k+2^k-1=2^k-1

综合1,2得系列1 2 ... n 和为偶数的子集有2^n-1-1个

接下来用快速幂即可。

代码：

#include<stdio.h>
#define ll long long
const ll M=1e9+7;
ll t,n;
int main(){
    scanf("%lld",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld",&n);
        ll k=2,ans=1;
        n--;
        while(n){
            if(n&1)ans=(ans*k)%M;
            k=(k*k)%M;
            n>>=1;
        }
        printf("%lld\n",ans-1);
    }
}

 

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┆凉┆暖┆降┆等┆幸┆我┆我┆里┆将┆　┆可┆有┆谦┆戮┆那┆　┆大┆始┆　┆然┆
┆薄┆一┆临┆你┆的┆还┆没┆　┆来┆　┆是┆来┆逊┆没┆些┆　┆雁┆终┆　┆而┆
┆　┆暖┆　┆如┆地┆站┆有┆　┆也┆　┆我┆　┆的┆有┆精┆　┆也┆没┆　┆你┆
┆　┆这┆　┆试┆方┆在┆逃┆　┆会┆　┆在┆　┆清┆来┆准┆　┆没┆有┆　┆没┆
┆　┆生┆　┆探┆　┆最┆避┆　┆在┆　┆这┆　┆晨┆　┆的┆　┆有┆来┆　┆有┆
┆　┆之┆　┆般┆　┆不┆　┆　┆这┆　┆里┆　┆没┆　┆杀┆　┆来┆　┆　┆来┆