作者： 负雪明烛
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[LeetCode]
题目地址：https://leetcode.com/problems/house-robber/
Total Accepted: 67398 Total Submissions: 196356 Difficulty: Easy
题目描述You are a professional robber planning to rob houses along a street. Each house has a certain amount of money stashed, the only constraint stopping you from robbing each of them is that adjacent houses have security system connected and it will automatically contact the police if two adjacent houses were broken into on the same night.
Given a list of non-negative integers representing the amount of money of each house, determine the maximum amount of money you can rob tonight without alerting the police.
Example 1:
Input: [1,2,3,1]
Output: 4
Explanation: Rob house 1 (money = 1) and then rob house 3 (money = 3).
Total amount you can rob = 1 + 3 = 4.
Example 2:
Input: [2,7,9,3,1]
Output: 12
Explanation: Rob house 1 (money = 2), rob house 3 (money = 9) and rob house 5 (money = 1).
Total amount you can rob = 2 + 9 + 1 = 12.
每个房间里有些价值的物品，不能偷连续的房间，那么求最多能偷多少物品？
解题方法动态规划到底怎么想？其实可以先用 递归+记忆化 解决问题，然后再转化成动态规划。
首先说明的是 递归+记忆化 是从顶向下的一种解决方式：即我们要解决大问题，大问题拆解成小问题。
而 动态规划 是从底向上的一种解决方式：即我们先解决小问题，然后逐步推出大问题。
递归
假如dfs(i)表示从左到右的第 i 个位置能偷多少金额，是不是就是 max(dfs(i - 1), dfs(i - 2) + nums[i])。自顶向下的思路就是递归去求解 dfs(i - 1), dfs(i - 2)。
所以我们有了最简单的一个递归代码：
class Solution(object):
def rob(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
if not nums:
return 0
return self.dfs(nums, len(nums) - 1)
# 在第 i 个房间之前（包括 i）能获取的最大收益
def dfs(self, nums, i):
if i == 0:
return nums[0]
if i == 1:
return max(nums[0], nums[1])
return max(self.dfs(nums, i - 1), self.dfs(nums, i - 2) + nums[i])
提交之后发现超时了。
递归 + 记忆化
为什么超时呢，是因为我们有重复计算：dfs(2) 需要求 dfs(0)、dfs(1)；而 dfs(3) 需要求 dfs(2)，然后再求一遍 dfs(0)、dfs(1)。
解决这个问题的方法是：记录一下已经求过的值，避免重复计算。
于是有了记忆化的方法，用memo[i]记录已经求过的dfs(i)，之后在搜索的时候，先找 memo中是否已经保存了这个数字，如果已经保存就不用再计算了。
于是有了以下的代码：
class Solution(object):
def rob(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
if not nums:
return 0
self.memo = dict()
return self.dfs(nums, len(nums) - 1)
# 在第 i 个房间之前（包括 i）能获取的最大收益
def dfs(self, nums, i):
if i in self.memo:
return self.memo[i]
res = 0
if i == 0:
res = nums[0]
elif i == 1:
res = max(nums[0], nums[1])
else:
res = max(self.dfs(nums, i - 1), self.dfs(nums, i - 2) + nums[i])
self.memo[i] = res
return res
这份答案已经能通过了。
动态规划
上面分析了这么多，可以看出递归是先想获得 i 位置的结果 ，然后分解成求解 i - 1 位置的结果 和 i - 2 位置的结果。这就是从顶向下。
反过来我们也可以想到，如果先求 i - 1 位置的结果 和 i - 2 位置的结果，再求 i 位置的结果不是也行吗？对！这就是 动态规划，它的思想是从底向上。
首先定义状态： dp[i] 表示从左到右的第 i 个位置能偷多少金额。（和递归的定义是不是一样？）
然后明确状态转移方程：
dp[0] = num[0] （当i=0时）
dp[1] = max(num[0], num[1]) （当i=1时）
dp[i] = max(num[i] + dp[i - 2], dp[i - 1]) （当 i !=0 and i != 1 时）
最后写代码：
class Solution(object):
def rob(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
if not nums:
return 0
N = len(nums)
dp = [0] * (N + 1)
dp[1] = nums[0]
for i in range(1, N):
dp[i + 1] = max(dp[i], dp[i - 1] + nums[i])
return dp[-1]
动态规划会比递归 + 记忆化的速度更快，主要是递归 + 记忆化需要开辟栈空间，而且还需要多一步是否在 memo 中存在的判断。
Java代码如下：
public class Solution {
public int rob(int[] nums) {
if(nums.length==0) return 0;
if(nums.length==1) return nums[0];
int[] maxMoney=new int[nums.length];
maxMoney[0]=nums[0];
maxMoney[1]=Math.max(nums[0],nums[1]);
for(int i=2; i<nums.length; i++){
maxMoney[i]=Math.max(nums[i]+maxMoney[i-2], maxMoney[i-1]);
}
return maxMoney[nums.length-1];
}
}
AC:0ms
优化动态规划空间
我们看到动态规划的解法中，dp[i] 只和 dp[i - 1] 和 dp[ i - 2] 有关，因此可以用变量优化使用空间：
Python代码如下：
class Solution:
def rob(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
prev, cur = 0, 0
for value in nums:
prev, cur = cur, max(prev + value, cur)
return cur
日期
2016/5/1 21:44:42
2018 年 9 月 9 日
2018 年 11 月 21 日 —— 又是一个美好的开始
2020 年 5 月 29 日 —— 答辩顺利
