问题描述
有 N 件物品和一个容积为 M 的背包。第 i 件物品的体积 w[i],价值是 d[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。每种物品只有一件,可以选择放或者不放 (N<=3500,M <= 13000)。
Example:
number=4,capacity=8
i | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|
w(体积) | 2 | 3 | 4 | 5 |
v(价值) | 3 | 4 | 5 | 6 |
Output: 10
问题分析
(1)用 w[i] 表示物品重量,v[i] 表示物品价值。定义状态 dp[i][j] 表示从前 i 种物品选取,使它们总体积不超过 j 的最优取法取得的价值总和。最终要求的是 dp[N][M];
(2)初始化边界条件,dp[0,j]=dp[i,0]=0;
(3)对于每一个物品,有两种选择方法,能装下和不能装下;
- 第一,包的容量比该商品体积小,装不下,此时的价值与前 i-1 个的价值是一样的,即dp[i,j]=dp[i-1,j];
- 第二,还有足够的容量可以装该商品,但装了也不一定达到当前最优价值,所以在装与不装之间选择最优的一个,即dp[i,j]=max{ dp[i-1,j],dp[i-1,j-w(i)]+v(i) }其中dp[i-1,j]表示不装,dp[i-1,j-w(i)]+v(i) 表示装了第 i 个商品,背包容量减少 w(i) 但价值增加了 v(i);
(4)得出递推关系式:
- ① j<w(i) dp[i,j]=dp[i-1,j]
- ② j>=w(i) dp(i,j)=max{ dp[i-1,j],dp[i-1,j-w(i)]+v(i) }
初始化时的 dp 矩阵。初始状态将边界初始化为 0。j 表示背包的的重量,i 表示第 i 个物品。
一行一行将表填写完整。
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
//N件物品,容积为M的背包
int knapsack(int N, int W, vector<int>weight, vector<int>value)
{
vector<vector<int>>dp(N + 1, vector<int>(W + 1, 0));
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
int w = weight[i - 1], v = value[i - 1];
for (int j = 1; j <= W; j++)
{
if (j >= w)
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w] + v);
else
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
return dp[N][W];
}
int main()
{
int N, W;
cin >> N >> W;
vector<int>weight(N,0);
vector<int>value(N,0);
for (int i = 0; i < N; i++)
{
cin >> weight[i];
cin >> value[i];
}
cout << knapsack(N, W, weight, value) << endl;
return 0;
}
空间优化
由图可以看出来,每一次 dp[i][j] 改变的值只与 dp[i-1][x] {x:1…j}有关,也就是说只与上一行保存的值有关。因此,可以将 dp 写成一维数组,优化空间,状态转移方程转换为 dp[j]= max{dp[j], dp[j-w(i)]+v(i)};
并且,状态转移方程,每一次推导 dp[i][j] 是通过 dp[i-1][j-w(i)] 来推导的,所以一维数组中 j 的扫描顺序应该从大到小,否则前一次循环保存下来的值将会被修改。
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
//N件物品,容积为M的背包
int knapsack(int N, int W, vector<int>w, vector<int>v)
{
vector<int>dp(W + 1, 0);
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
for (int j = W; j >= w[i-1]; j--)//当前背包的剩余容量应该大于等于该物品体积
dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i-1]] + v[i-1]);
}
return dp[W];
}
int main()
{
int N, W;
cin >> N >> W;
vector<int>w(N,0);
vector<int>v(N,0);
for (int i = 0; i < N; i++)
{
cin >> w[i];
cin >> v[i];
}
cout << knapsack(N, W, w, v) << endl;
return 0;
}