1）基础算法

原创

sweetheart7_7 2022-04-10 10:58:49 博主文章分类：数据结构与算法常考知识点 ©著作权

文章标签 基础算法 i++ #include ios 文章分类 数据结构与算法人工智能

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文章目录

快速排序

快排
求第k小的数

归并排序

归并排序
求逆序对的个数

整数二分
浮点数二分
高精度

高精度加法
高精度加法压位（压9位）
高精度减法
高精度乘法
高精度除法

前缀和

一维前缀和
二维前缀和（子矩阵的和）

差分

一维差分
二维差分（差分矩阵）

双指针算法

最长连续不重复子序列
数组元素的目标和

位运算
离散化
区间合并

快速排序

快排

基本思想

1）基础算法_基础算法

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1000010;

int q[N];

void quick_sort(int q[], int l, int r){
    
    if(l >= r) return;
    
    int x = q[l + r >> 1], i = l - 1, j = r + 1;
    
    while(i < j){
        
        do i++; while(q[i] < x);
        do j--; while(q[j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    
    quick_sort(q, l, j);
    quick_sort(q, j+1, r);
}

int main(){
    
    int n;
    
    scanf("%d", &n);
    
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);
    
    quick_sort(q, 0, n - 1);
    
    for(int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", q[i]);
    
    return 0;
}

求第k小的数

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, k, q[N];

int quick_sort(int l, int r, int k){
    
    if(l >= r) return q[l];
    
    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    
    while(i < j){
        
        do i++; while(q[i] < x);
        do j--; while(q[j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    
    int sl = j - l + 1;
    if(k <= sl) return quick_sort(l, j, k);
    
    return quick_sort(j + 1, r, k - sl);
}

int main(){
    
    scanf("%d%d", &n, &k);
    
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);
    
    cout << quick_sort(0, n - 1, k);
    
    return 0;
}

归并排序

1）基础算法_ios_02

归并排序

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int q[N], temp[N];

void merge_sort(int q[], int l, int r){
    
    if(l >= r) return;
    
    int mid = (l + r) >> 1;
    
    merge_sort(q, l, mid), merge_sort(q, mid + 1, r);
    
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    
    while(i <= mid && j <= r){
        
        if(q[i] <= q[j]) temp[k++] = q[i++];
        else temp[k++] = q[j++];
    }
    
    while(i <= mid) temp[k++] = q[i++];
    while(j <= r) temp[k++] = q[j++];
    
    for(i = l,k = 0; i <= r; i++, k++) q[i] = temp[k];
}

int main(){
    
    int n;
    
    scanf("%d", &n);
    
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);
    
    merge_sort(q, 0, n - 1);
    
    for(int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", q[i]);
    
    return 0;
}

求逆序对的个数

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5 + 10;

int q[N], tmp[N];

LL merge_sort(int q[], int l, int r){
    
    if(l >= r) return 0;
    
    int mid = l + r >> 1;
    
    LL res = 0;
    res += (merge_sort(q, l, mid) + merge_sort(q, mid + 1, r));
    
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    
    while(i <= mid && j <= r){
        
        if(q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
        else{
            
            tmp[k++] = q[j++];
            res += (mid - i + 1);  // 此时前半段剩下的数都严格大于当前q[j]
        }
    }
    
    while(i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
    while(j <= r) tmp[k++] = q[j++];
    
    for(i = l, k = 0; i <= r; i++, k++) q[i] = tmp[k];
    
    return res;
}

int main(){
    
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);
    
    cout << merge_sort(q, 0, n-1) << endl;
    
    return 0;
}

整数二分

1）基础算法_#include_03
根据分界点是红色这边还是绿色这边分为两个板子
1是红色，2是绿色

板子1

int l = 0, r = n - 1;
while(l < r){
    int mid = l + r + 1 >> 1;
    if(check(mid)) l = mid;
    else r = mid - 1;
}

板子2

int l = 0, r = n - 1;
while (l < r) {
    int mid = l + r >> 1;
    if (check(mid))  l = mid + 1;
    else r = mid;
}

浮点数二分

精度为4位小数的时候 $1）基础算法_基础算法_04$ < 1e-6，5位的时候 $1）基础算法_基础算法_04$ < 1e-7，6位时， $1）基础算法_i++_06$ ，相当于精度比题目要求多 1e-2 就基本不会出问题！

第一种利用 $1）基础算法_#include_07$
第二种直接 $1）基础算法_i++_08$ 循环迭代 $1）基础算法_基础算法_09$ 次

拿求 $1）基础算法_#include_10$ 的三次方跟举例：

double l = -100, r = 100;
    
while(r - l > 1e-8){
    double mid = (l + r) / 2;
    if(mid * mid * mid < x) l = mid;
    else r = mid;
}

高精度

高精度加法

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B){
    
    vector<int> C;
    int t = 0;  // 进位
    for(int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++){
        
        if(i < A.size()) t += A[i];
        if(i < B.size()) t += B[i];
        
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    
    if(t != 0) C.push_back(t);
    
    return C;
}

int main(){
    
    string a, b;
    vector<int> A, B;
    
    cin >> a >> b;
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    for(int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
    
    auto C = add(A, B);
    
    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
    
    
    return 0;
}

高精度加法压位（压9位）

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

const int base = 1000000000;

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B){
    
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++){
        
        if(i < A.size()) t += A[i];
        if(i < B.size()) t += B[i];
        
        C.push_back(t % base);
        t /= base;
    }
    
    if(t) C.push_back(t);
    
    return C;
}

int main(){
    
    string a, b;
    vector<int> A, B;
    
    cin >> a >> b;
    for(int i = a.size() - 1, j = 0, t = 1, s = 0; i >= 0; i--) {
        
        s += (a[i] - '0') * t;
        j++;
        t *= 10;
        
        if(i == 0 || j == 9){
            A.push_back(s);
            j = 0;
            s = 0;
            t = 1;
        }
        
    }
    for(int i = b.size() - 1, j = 0, t = 1, s = 0; i >= 0; i--) {
        
        s += (b[i] - '0') * t;
        j++;
        t *= 10;
        
        if(i == 0 || j == 9){
            B.push_back(s);
            j = 0;
            s = 0;
            t = 1;
        }
    }
    
    auto C = add(A, B);
    
    printf("%d", C.back());
    for(int i = C.size() - 2; i >= 0; i--) printf("%09d", C[i]);
    
    
    return 0;
}

高精度减法

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B){
    
    if(A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
    
    for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--){
        
        if(A[i] != B[i]) return A[i] > B[i];
    }
    
    return true;
}

vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B){
    
    vector<int> C;
    
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < A.size(); i++){
        
        t = A[i] + t;
        if(i < B.size()) t -= B[i];
        
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if(t < 0) t = -1;  // 1 或者 -1 （取决于上面是+t还是-t）
        else t = 0;
    }
    
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();  // 去掉前导0
    
    return C;
}

int main(){
    
    string a, b;  // a = "12345"
    vector<int> A, B; // A = [5, 4, 3, 2, 1]
    
    cin >> a >> b;
    
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i]-'0');
    for(int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i]-'0');
    
    vector<int> C;
    
    if(cmp(A, B)) C = sub(A, B);
    else{
        cout << "-";
        C = sub(B, A);
    }
    
    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];
    cout << endl;
    
    return 0;
}

高精度乘法

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

vector<int> mul(vector<int> &A, int b){
    
    vector<int> C;
    
    int t = 0;
    
    for(int i = 0; i < A.size(); i++){
        
        t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    
    while(t > 0) C.push_back(t % 10), t /= 10;  // 可以与上面的for循环合并
    
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
    return C;
}

int main(){
    
    string a;
    int b;
    
    cin >> a >> b;
    
    vector<int> A;
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i]-'0');
    
    auto C = mul(A, b);
    
    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
    
    return 0;
}

高精度除法

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>

using namespace std;

// A / b = C 余数为 r
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r){
    
    vector<int> C;
    r = 0;
    
    for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--){
        
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    
    reverse(C.begin(), C.end());  // 数组反转
    
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
    return C;
}

int main(){
    
    string a; // '12345'
    int b;
    
    cin >> a >> b;
    
    vector<int> A;  // [5, 4, 3, 2, 1]
    
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    
    int r;
    
    auto C = div(A, b, r);
    
    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];
    
    cout << endl << r;
    
    return 0;
}

前缀和

下标从1开始

一维前缀和

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], s[N];

int main(){
    
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    
    while(m--){
        
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }
    
    
    return 0;
}

二维前缀和（子矩阵的和）

1）基础算法_基础算法_11

注意：需要把每个格子当成一个坐标点！！！

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int a[N][N], s[N][N];

int main(){
    
    
    int n, m, q;
    
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
            
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
            
    
    while(q--){
        
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        int z = s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1];
        printf("%d\n", z);
    }
    
    return 0;
}

差分

一维差分

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c){
    b[l] += c;
    b[r+1] -= c;
}

int main(){
    
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]);  // 构造差分数组
    
    while(m--){
        
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        insert(l, r, c);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i-1];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", b[i]);
    
    return 0;
}

二维差分（差分矩阵）

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
    
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2+1] -= c;
    b[x2+1][y1] -= c;
    b[x2+1][y2+1] += c;
}


int main(){
    
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
            
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
            
    while(q--){
        
        int x1, y1, x2, y2, c;
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            b[i][j] += b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1];
            
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= m; j++){
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        puts("");
    }
    
    return 0;
}

双指针算法

先写朴素做法
根据双指针模版+本题的性质将 “1.” 改为双指针算法（看 $1）基础算法_#include_12$ 和 $1）基础算法_基础算法_13$ 之间有没有单调关系）

最长连续不重复子序列

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N], s[N];  // s记录每个数出现的次数

int main(){
    
    int n;
    
    scanf("%d", &n);
    
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    
    int res = 0;
    for(int i = 0, j = 0; i < n; i++){
        
        s[a[i]]++;
        
        while(j <= i && s[a[i]] > 1){  // 本题这里 j <= i可以不写
            s[a[j]]--;
            j++;
        }
        
        res = max(res, i - j + 1);
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

数组元素的目标和

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int a[N], b[N];

int main(){
    
    int n, m, x;
    
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &x);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", &b[i]);
    
    for(int i = 1, j = m; i <= n; i++){
        
        while(j && a[i] + b[j] > x) j--;
        
        if(a[i] + b[j] == x){
            
            printf("%d %d", (i-1), (j-1));
            break;
        }
    }
    
    return 0;
}

位运算

$1）基础算法_i++_14$ 的二进制表示中第 k 位是几？

n >> k & 1

求一个十进制数的二进制可以采用循环加上述操作计算出来

$1）基础算法_基础算法_15$ 操作：返回 $1）基础算法_#include_10$ 的最后一位 $1）基础算法_i++_17$

$1）基础算法_基础算法_18$ $1）基础算法_ios_19$ $1）基础算法_ios_20$

$1）基础算法_i++_21$ $1）基础算法_ios_22$ $1）基础算法_#include_10$ $1）基础算法_i++_24$ $1）基础算法_ios_22$ $1）基础算法_#include_10$ $1）基础算法_#include_27$ (~ $1）基础算法_#include_28$ )

在 C++ 中 $1）基础算法_i++_29$ 表示为补码也就是 $1）基础算法_i++_29$ $1）基础算法_ios_22$ ~ $1）基础算法_#include_28$

#include<iostream>

using namespace std;

int main(){
    
    int n;
    
    cin >> n;
    
    int x, res = 0;
    
    while(n--){
        
        cin >> x;
        
        res = 0;
        
        while(x > 0) x -= (x & -x), res ++;
        
        cout << res << ' ';
    }
    
    return 0;
}

离散化

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 300010;

int a[N], s[N];
// 记录离散化后的操作(排序+去重)
// 某操作在alls的所在位置的下标+1 即是某操作映射到原数组的位置
vector<int> alls;
// 记录所有的添加和查询操作
vector<PII> add, query;

int find(int x){
    
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    // 二分找出第一个大于等于x的值
    while(l < r){
        
        int mid = l + r >> 1;
        if(alls[mid] <= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    // +1 是因为 a[] 下标从1开始。
    return r + 1;
}

int main(){
    
    int n, m;
    
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    int x, y;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        
        scanf("%d%d", &x, &y);
        add.push_back({x, y});
        alls.push_back(x);
    }
    
    for(int i = 0; i < m; i++){
        
        scanf("%d%d", &x, &y);
        query.push_back({x, y});
        alls.push_back(x);
        alls.push_back(y);
    }
    // 对操作进行排序 + 去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());
    
    // 遍历添加操作, 找到离散话后的位置,进行操作
    for(int i = 0; i < n; i++){
        
        x = add[i].first;
        y = add[i].second;
        
        a[find(x)] += y;
    }
    // 预处理前缀和
    for(int i = 1; i <= alls.size(); i++){
        s[i] = s[i-1] + a[i];
    }
    
    
    for(int i = 0; i < m; i++){
        
        x = query[i].first;
        y = query[i].second;
        
        int l = find(x);
        int r = find(y);
        
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }
    
    
    return 0;
}

区间合并

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 100010;

int n;

vector<PII> segs;

void merge(vector<PII> &segs){
    
    vector<PII> res;
    // pair<a, b> 默认先以a排序,a相同时再以b排序
    sort(segs.begin(), segs.end());
    
    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for(PII seg: segs){
        
        if(seg.first > ed){
            
            if(st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }else{
            
            ed = max(ed, seg.second);
        }
    }
    
    if(st != -2e9) res.push_back({st, ed});
    
    segs = res;
}

int main(){
    
    cin >> n;
    
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        segs.push_back({l, r});
    }
    
    merge(segs);
    
    cout << segs.size() << endl;
    
    return 0;
}

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