R语言与总体比例的置信区间

学习笔记

学习书目：《统计学：从数据到结论》

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成功概率或总体比例的置信区间

大总体和大样本情况

假设有一个总体很大，我们共调查了$n$个人，其中持有某种观点的为$x$人，则样本比例为$\hat {p}=x/n$,那么比例$p$的$100(1-\alpha) \%$近似置信区间为：
$\hat{p} \pm z_{\alpha /2}\sqrt{ \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

• 啥是大样本？

一个近似判断大样本的方法，是当区间：
$\hat{p} \pm 3\sqrt{ \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

完全包含在(0, 1)区间内部时，可以认为样本足够大。

大总体和小样本情况

在大总体，小样本时，有木有精确的关于比例的置信区间的求法呢？当然有！

我们用$p(k)$代表在$n$次伯努利实验中成功的次数的概率，$p$为每次试验成功的概率，则有：
$p(k)= \begin{pmatrix} n \\k \end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k} \quad k=0,1,...,n$

如果已经观测到$n$次试验有$x$次成功，那么$p$的$100(1-\alpha) \%$置信区间$(p_L, p_U)$的上限$p_U$应该为，满足：
$\sum_{k=0}^{x} p(k)= \sum_{k=0}^{x} \begin{pmatrix} n \\k \end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{\alpha}{2}$
的$p$ .

而置信区间的下限$p_L$应该为满足：
$\sum_{k=x}^{n} p(k)= \sum_{k=x}^{n} \begin{pmatrix} n \\k \end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{\alpha}{2}$
的$p$ .

小总体情况

在小总体的抽样调查中求比例的问题大都属于超几何分布，这是因为在调查中的抽样属于不放回抽样。由于一切统计模型都是近似模型，超几何分布也不例外。超几何分布要求总体中每一个个体都有同等机会被抽到，但是这不可能在实践中完全做到。

按照计算置信区间的精确方法，这个置信区间应该从求$k$(比如总体中的废品个数)的$100(1- \alpha) \%$的置信区间着手，而该区间$(k_1, k_2)$上限$k_2$应该为满足：
$P(N, n, k, x) \leq \frac{\alpha}{2}$
的最小的$k$.

而其下限$k_1$应该满足：
$P(N, n, k, x-1) \geq 1- \frac{\alpha}{2}$
的最大的$k$.

这里$P(N, n, k, x)\equiv P(X \leq x)$是参数为$N, n, k$的超几何分布的累计分布函数：
$P(N, n, k, x)= \sum_{i=0}^{x}p(N, n, k, i)$
而
$p(N, n, k, i) = \frac{\begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-k \\ n-i \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix} }$
有了区间$(k_1, k_2)$之后，除以$N$就可以得到比例$k/N$的位置区间了.

R语言实例

这里有两种方法可以进行总体比例的区间估计，但好像都是针对大总体的，一个是binom.test方法，一种是binconf方法。前面一种方法是可以得到精确的置信区间，后一种方法可以得到精确和近似的置信区间。

话不多说，直接放代码：

> library(Hmisc)
> binom.test(50, 200, con = 0.95)$conf
[1] 0.1916072 0.3159628
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
> binconf(50, 200, alpha = 0.05, method = "all")
           PointEst     Lower     Upper
Exact          0.25 0.1916072 0.3159628
Wilson         0.25 0.1950817 0.3143410
Asymptotic     0.25 0.1899886 0.3100114

可以看到binom.test方法的输出结果和binconf方法中Exact得到结果是一样的，它们都可以得到精确的置信区间；而binconf的Asymptotic 得到的是大样本下正态近似的置信区间，Wilson是正态近似区间的改进。