欧几里得算法与扩展欧几里得算法

   欧几里得算法与扩展欧几里得算法    

 

欧几里得算法

欧几里得算法，也叫辗转相除，简称 gcd，用于计算两个整数的最大公约数

　　定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最大公约数

给定整数a和b，且b>0，重复使用带余除法，即每次的余数为除数去除上一次的除数，直到余数为0，这样可以得到下面一组方程：
     a = bq1+r1,  0 < r1 <b,
     b = r1q2+r2,  0 < r2 < r1,
     r1 = r2q3+r3,  0 < r3 < r2,
         ……
     rj-1 = rjqj+1
 最后一个不为0的余数rj就是a和b的最大公因子

求gcd (1970，1066)用欧几里德算法的计算过程如下：1970＝1×1066+9041066＝1×904+162904＝5×162+94162=1×94+6894＝1×68+2668＝2×26+1626＝1×16+1016＝1×10+610＝1×6+46=1×4+24＝2×2+0因此gcd (1970，1066) = 2

 

 

 扩展欧几里得算法

1.能够确定两个正整数的最大公约数
2.如果这两个正整数互素（互质），还能确定他们的逆元

如果整数n≥1，且gcd(a,n)=1,那么a有一个模n的乘法逆元a-1。即对小于n的正整数a，存在一个小于n的整数a，存在一个小于n的整数a-1，使得a * a-1≡1 mod n。

 

 

 （1）1234 mod 4321 用扩展欧几里德算法的计算过程如下：

循环次数	Q	X1	X2	X3	Y(T1)	Y(T2)	Y(T3)
初始值	-	1	0	4321	0	1	1234
1	3	0	1	1234	1	-3	619
2	1	1	-3	619	-1	4	615
3	1	-1	4	615	2	-7	4
4	153	2	-7	4	-307	1075	3
5	1	-307	1075	3	309	-1082	1

- 1082 =3239 mod 4321,所以逆元是 3239

（2）24140 mod 40902

循环次数	Q	X1	X2	X3	Y(T1)	Y(T2)	Y(T3)
初始值	-	1	0	40902	0	1	24140
1	1	0	1	24140	1	-1	16762
2	1	1	-1	16762	-1	2	7378
3	2	-1	2	7378	3	-5	2006
4	3	3	-5	2006	-10	14	1360
5	1	-10	14	1360	13	-19	646
6	2	13	-19	646	-36	52	68
7	9	-36	52	68	326	-487	34
8	2	326	-487	34	-688	1026	0

无逆元