$F(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}P(X=i)x^i$
前言
一个挺早就知晓其存在的诡异科技，只不过当时遇到它的题目是用其他的做法搞过去的。
这次好好研读了一下杨懋龙神仙的论文《浅谈生成函数在掷骰子问题上的应用》，还是有不少收获的。（尽管看了一半就看不下去了）
基本定义
假设存在一个离散随机变量\(X\)满足\(P(X=i)=a_i\)，那么它的概率生成函数就应该是：
\[F(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}P(X=i)x^i \]
定义看起来很简单，更重要的是它的几个性质。
重要性质
性质一
\(X\)作为一个离散随机变量，显然它生成所有数的概率总和应当是\(1\)，也就是说：
\[F(1)=\sum_{i=0}^{+\infty}P(X=i)=1 \]
性质二
我们对于\(F(x)\)求导，得到：
\[F'(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}iP(X=i)x^{i-1} \]
然后再代入\(x=1\)，得到：
\[F'(1)=\sum_{i=0}^{+\infty}iP(X=i) \]
发现这玩意恰好是\(X\)的期望值！
也就是说：
\[E(X)=F'(1) \]
性质三
我们继续对这个式子求导，可以发现：
\[E(X^{\underline{k}})=F^{(k)}(1) \]
性质四
对于方差有这样一个公式：
\[Var(X)=E((X-E(X)))^2)=E(X^2-2XE(X)+E(X)^2)=E(X^2)-E(X)^2 \]
考虑\(E(X^2)\)，它可以这样表示：
\[E(X^2)=E(X(X-1))+E(X)=E(X^{\underline{2}})+E(X)=F''(1)+F'(1) \]
所以把这个式子代回原式，得到：
\[Var(x)=F''(1)+F'(1)-(F'(1))^2 \]
例题
讲完这些性质概率生成函数也就告一段落了，接下来就是例题。
