矩阵、向量求导法则

​​矩阵微分​​​

矩阵微分(Matrix Differential)也称矩阵求导(Matrix Derivative)，在机器学习、图像处理、最优化等领域的公式推导过程中经常用到。本文将对各种形式下的矩阵微分进行详细的推导。

1. 符号说明

d(

y

)/d(x) 是一个列向量，其中的元素 (i) 为 d(

y_i

)/d(x)

d(y)/d(

x

) 是一个列向量，其中的元素 (i) 为 d(y)/d(

x_i

)

d(

y^T

)/d(

x

) 是一个矩阵，其中的元素 (i,j) 为 d(

y_j

)/d(

x_i

)

d(

Y

)/d(x) 是一个矩阵，其中的元素 (i,j) 为 d(

Y_i,j

)/d(x)

d(y)/d(

X

) 是一个矩阵，其中的元素 (i,j) 为 d(y)/d(

X_i,j

)

接下来的微分计算中，假定A, B, C是常矩阵与X无关，Y, Z与X相关。

2. 一次函数的微分(Linear Products)

首先介绍一个重要的性质（类似于函数的求导）: d(YZ)/d(x)=Y*d(Z)/d(x)+d(Y)/d(x)*Z，注意到分母中的x是标量(Scalar)。在微分中分母是向量的情况下，个人经验是：若d(行向量)/d(列向量)或者d(列向量)/d(行向量)，则也适合这个公式，如下面的前两个公式。

• • • 
      
  • d(x^TA)/d(x) = A 
    推导过程：d(x^TA)/d(x) = A*d(x^T)/d(x)+x^T*d(A)/d(x) = A*I+0 = A。若A为向量a也适用。
  • d(Ax)/d(x^T) = A
    • 推导过程：d(

Ax

• • )/d(

x^T

• • ) = [d(

x^TA^T

• • )/d(

x

• • )]

^T

• • = (

A^T

• • )

^T

• • =

A

• • • 。
  • d(a^TXb)/d(X) = ab^T
    • 首先求出

a^TXb

• • =

a^TX_:,1b₁

• • +

a^TX_:,2b₂

• • + ... +

a^TX_:,nb_n

• • ，这是一个实数，所以对应的

X_i,j

• • 的系数构成的矩阵就为微分结果，易得

ab^T

• • 。若

a

• • ,

b

• • 为矩阵

A

• • ,

B

• • • 公式也适用。
  • d(a^TX^Tb)/d(X) = ba^T
    • 计算过程同上，若

a

• • ,

b

• • 为矩阵

A

• • ,

B

• 公式也适用。

注意，有些书上有这些公式：d(xA)/d(x)=A; d(Ax)/d(x)=A^T。考虑到x为列向量，则Ax也为列向量，列向量对列向量的求导按照《矩阵论》中的公式，结果会是一个列向量而不是公式中的A^T。这些特殊的情况就让数学家去钻研吧，应用研究很少遇到。

3. 二次函数的微分(Quadratic Products)

下面的讨论主要针对分子为二次的情况，分母还是向量或者矩阵。分母为高阶的情况较少，典型的例子有Hessian矩阵，在文章最后会介绍。

• • • 
      
  • d(x^TAx)/d(x) = (A+A^T)x
    • 在SVM求对偶的过程中有这一步求导。用展开的方式可以很快求得。若

A

• • 为对称阵，则d(

x^TAx

• • )/d(

x

• • ) = 2

Ax

• • 。
• d[(Ax+b)^TC(Dx+e)]/d(x) = A^TC(Dx+e) + D^TC^T(Ax+b)
  • 这是该形式最为通用的公式。
• d(a^TX^TXb)/d(X) = X(ab^T + ba^T)
• • • 
      
  • 特殊情况：d(a^TX^TXa)/d(X) = 2Xaa^T
    • 
      
• d(a^TX^TCXb)/d(X) = C^TXab^T + CXba^T
• • • 
      
  • d(a^TX^TCXa)/d(X) = (C + C^T)Xaa^T
  • d(a^TX^TCXa)/d(X) = 2CXaa^T，若C对称。
    • 
      
• d[(Xa+b)^TC(Xa+b)]/d(X) = (C+C^T)(Xa+b)a^T
  • 
    

4. 矩阵的迹的微分(Trace)

在矩阵的迹tr()中的矩阵必须为方阵。设有N阶矩阵A，那么矩阵的迹tr(A)就等于A的特征值的总和，也为A矩阵的主对角线元素的总和，tr(AB)=tr(BA)。

• • 
    
• d(tr(X))/d(X) = I
• d(tr(X^k))/d(X) =^k(X^k-1)^T
• d[tr(A^TXB^T)]/d(X) = d[tr(BX^TA)]/d(X) = AB
• • • 
      
  • d[tr(XA^T)]/d(X) = d[tr(A^TX)]/d(X) =d[tr(X^TA)]/d(X) = d[tr(AX^T)]/d(X) = A
    • 
      
• d[tr(AXBX^T)]/d(X) = A^TXB^T + AXB
• • • 
      
  • d[tr(XAX^T)]/d(X) = X(A+A^T)
  • d[tr(X^TAX)]/d(X) = X^T(A+A^T)
  • d[tr(AX^TX)]/d(X) = (A+A^T)X
    • 
      
• d[tr(AXBX)]/d(X) = A^TX^TB^T + B^TX^TA^T
  • 
    

5. 雅可比矩阵(Jacobian)

雅可比矩阵也可以看做是向量对向量的求导而得到的，如果y=f(x)，则对应的雅可比矩阵J=d(y)/d(x^T)。

6. 海森矩阵(Hessian matrix)

如果y=f(x)，则d[d(f)/d(x)]/d(x)是海森矩阵。在最优化中海森矩阵有诸多用途，如求最大值，最小值，鞍点等。

• • 
    
• d²(Ax+b)^TC(Dx+e)/d(X²)= A^TCD + D^TC^TA
  • 
    

矩阵求导好像读书的时候都没学过，因为讲矩阵的课程上不讲求导，讲求导的课又不提矩阵。如果从事机器学习方面的工作，那就一定会遇到矩阵求导的东西。维基百科上： ​​http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus​​ ， 根据Y与X的不同类型（实值，向量，矩阵），给出了具体的求导公式，以及一堆相关的公式，查起来都费劲。

​​​​

其实在实际的机器学习工作中，最常用到的就是实值函数y对向量X的求导，定义如下（其实就是y对向量X的每一个元素求导）：

​​​​

实值函数对矩阵X求导也类似：

​​​​

因为机器学习（这里指的是有监督的机器学习）的一般套路是给定输入X，选择一个模型f作为决策函数，由f(X)预测出Y'。而得到f的参数θ（往往是向量），需要定义一个loss函数（一般都是实值函数），描述当前f预测值Y'与实际的Y值的接近程度。模型学习的过程就是求使得 loss函数 L(f(X),Y)最小的参数θ。这是一个最优化问题，实际应用中都是用和梯度相关的最优化方法，如梯度下降，共轭梯度，拟牛顿法等等。

其实只要掌握上面这个公式，就能搞定很多问题了。 

为了方便推导，下面列出一些机器学习中常用的求导公式，其中andrew ng那一套用矩阵迹的方法还是挺不错的，矩阵的迹也是实值的，而一个实数的迹等于其本身，实际工作中可以将loss函数转化成迹，然后在求导，可能会简化推导的步骤。 

​​​​

以上只是一些最基本的公式，能够解决一些问题，主要是减少大家对矩阵求导的恐惧感。关于矩阵方面的更多信息可以参考上面的wiki链接以及《Matrix cookbook》（感谢  ​​@王树森 CS​​ 推荐）。 

基本公式：
Y = A * X --> DY/DX = A'
Y = X * A --> DY/DX = A
Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B'
Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'

1. 矩阵Y对标量x求导：

相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了

Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]

2. 标量y对列向量X求导：

注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量

y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'

3. 行向量Y'对列向量X求导：

注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。

将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。

重要结论：

dX'/dX = I

d(AX)'/dX = A'

4. 列向量Y对行向量X’求导：

转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。

注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。

dY/dX' = (dY'/dX)'

5. 向量积对列向量X求导运算法则：

注意与标量求导有点不同。

d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)

d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'

重要结论：

d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A

d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A

d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X

6. 矩阵Y对列向量X求导：

将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。

注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。

7. 矩阵积对列向量求导法则：

d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)

d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)

重要结论：

d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A

8. 标量y对矩阵X的导数：

类似标量y对列向量X的导数，

把y对每个X的元素求偏导，不用转置。

dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ]

重要结论：

y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = [u(i)v(j)] = UV'

y = U'X'XU 则 dy/dX = 2XUU'

y = (XU-V)'(XU-V) 则 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U'

9. 矩阵Y对矩阵X的导数：

将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。

10.乘积的导数

d(f*g)/dx=(df'/dx)g+(dg/dx)f'

结论

d(x'Ax)=(d(x'')/dx)Ax+(d(Ax)/dx)(x'')=Ax+A'x   （注意：''是表示两次转置）

比较详细点的如下：

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http://lzh21cen.blog.163.com/blog/static/145880136201051113615571/

http://hi.baidu.com/wangwen926/blog/item/eb189bf6b0fb702b720eec94.html

其他参考：

Contents

• • 
    
• Notation
• Derivatives of Linear Products
• Derivatives of Quadratic Products
  • 
    

Notation

• • 
    
• d/dx (y) is a vector whose (i) element is dy(i)/dx
• d/dx (y) is a vector whose (i) element is dy/dx(i)
• d/dx (yT) is a matrix whose (i,j) element is dy(j)/dx(i)
• d/dx (Y) is a matrix whose (i,j) element is dy(i,j)/dx
• d/dX (y) is a matrix whose (i,j) element is dy/dx(i,j)
  • 
    

Note that the Hermitian transpose is not used because complex conjugates are not analytic.

In the expressions below matrices and vectors A, B, C do not depend on X.

Derivatives of Linear Products

• • 
    
• d/dx (AYB) =A * d/dx (Y) * B
• 
  
  • • 
      
  • d/dx (Ay) =A * d/dx (y)
    • 
      
• 
  
• d/dx (xTA) =A
• 
  
  • • 
      
  • d/dx (xT) =I
  • d/dx (xTa) = d/dx (aTx) = a
    • 
      
• 
  
• d/dX (aTXb) = abT
• 
  
  • • 
      
  • d/dX (aTXa) = d/dX (aTXTa) = aaT
    • 
      
• 
  
• d/dX (aTXTb) = baT
• d/dx (YZ) =Y * d/dx (Z) + d/dx (Y) * Z
  • 
    

Derivatives of Quadratic Products

• • 
    
• d/dx (Ax+b)TC(Dx+e) = ATC(Dx+e) + DTCT(Ax+b)
• 
  
  • • 
      
  • d/dx (xTCx) = (C+CT)x
  • 
    
    • • 
        
    • [C: symmetric]: d/dx (xTCx) = 2Cx
    • d/dx (xTx) = 2x
      • 
        
  • 
    
  • d/dx (Ax+b)T (Dx+e) = AT (Dx+e) + DT (Ax+b)
  • 
    
    • • 
        
    • d/dx (Ax+b)T (Ax+b) = 2AT (Ax+b)
      • 
        
  • 
    
  • [C: symmetric]: d/dx (Ax+b)TC(Ax+b) = 2ATC(Ax+b)
    • 
      
• 
  
• d/dX (aTXTXb) = X(abT + baT)
• 
  
  • • 
      
  • d/dX (aTXTXa) = 2XaaT
    • 
      
• 
  
• d/dX (aTXTCXb) = CTXabT + CXbaT
• 
  
  • • 
      
  • d/dX (aTXTCXa) = (C + CT)XaaT
  • [C:Symmetric] d/dX (aTXTCXa) = 2CXaaT
    • 
      
• 
  
• d/dX ((Xa+b)TC(Xa+b)) = (C+CT)(Xa+b)aT
  • 
    

Derivatives of Cubic Products

• • 
    
• d/dx (xTAxxT) = (A+AT)xxT+xTAxI
  • 
    

Derivatives of Inverses

• • 
    
• d/dx (Y-1) = -Y-1d/dx (Y)Y-1
  • 
    

Derivative of Trace

Note: matrix dimensions must result in an n*n argument for tr().

• • 
    
• d/dX (tr(X)) = I
• d/dX (tr(Xk)) =k(Xk-1)T
• d/dX (tr(AXk)) = SUMr=0:k-1(XrAXk-r-1)T
• d/dX (tr(AX-1B)) = -(X-1BAX-1)T
  • • 
      
  • d/dX (tr(AX-1)) =d/dX (tr(X-1A)) = -X-TATX-T
    • 
      
• 
  
• d/dX (tr(ATXBT)) = d/dX (tr(BXTA)) = AB
  • • 
      
  • d/dX (tr(XAT)) = d/dX (tr(ATX)) =d/dX (tr(XTA)) = d/dX (tr(AXT)) = A
    • 
      
• 
  
• d/dX (tr(AXBXT)) = ATXBT + AXB
  • • 
      
  • d/dX (tr(XAXT)) = X(A+AT)
  • d/dX (tr(XTAX)) = XT(A+AT)
  • d/dX (tr(AXTX)) = (A+AT)X
    • 
      
• 
  
• d/dX (tr(AXBX)) = ATXTBT + BTXTAT
• [C:symmetric] d/dX (tr((XTCX)-1A) = d/dX (tr(A (XTCX)-1) = -(CX(XTCX)-1)(A+AT)(XTCX)-1
• [B,C:symmetric] d/dX (tr((XTCX)-1(XTBX)) = d/dX (tr( (XTBX)(XTCX)-1) = -2(CX(XTCX)-1)XTBX(XTCX)-1 + 2BX(XTCX)-1
  • 
    

Derivative of Determinant

Note: matrix dimensions must result in an n*n argument for det().

• • 
    
• d/dX (det(X)) = d/dX (det(XT)) = det(X)*X-T
• 
  
  • • 
      
  • d/dX (det(AXB)) = det(AXB)*X-T
  • d/dX (ln(det(AXB))) = X-T
    • 
      
• 
  
• d/dX (det(Xk)) = k*det(Xk)*X-T
  • • 
      
  • d/dX (ln(det(Xk))) = kX-T
    • 
      
• 
  
• [Real] d/dX (det(XTCX)) = det(XTCX)*(C+CT)X(XTCX)-1
• 
  
  • • 
      
  • [C: Real,Symmetric] d/dX (det(XTCX)) = 2det(XTCX)* CX(XTCX)-1
    • 
      
• 
  
• [C: Real,Symmetricc] d/dX (ln(det(XTCX))) = 2CX(XTCX)-1
  • 
    

Jacobian

If y is a function of x, then dyT/dx is the Jacobian matrix of y with respect to x.

Its determinant, |dyT/dx|, is the Jacobian of y with respect to x and represents the ratio of the hyper-volumes dy and dx. The Jacobian occurs when changing variables in an integration: Integral(f(y)dy)=Integral(f(y(x)) |dyT/dx| dx).

Hessian matrix

If f is a function of x then the symmetric matrix d2f/dx2 = d/dxT(df/dx) is the Hessian matrix of f(x). A value of x for which df/dx = 0 corresponds to a minimum, maximum or saddle point according to whether the Hessian is positive definite, negative definite or indefinite.

• • 
    
• d2/dx2 (aTx) = 0
• d2/dx2 (Ax+b)TC(Dx+e) = ATCD + DTCTA
• 
  
  • • 
      
  • d2/dx2 (xTCx) = C+CT
  • 
    
    • • 
        
    • d2/dx2 (xTx) = 2I
      • 
        
  • 
    
  • d2/dx2 (Ax+b)T (Dx+e) = ATD + DTA
  • 
    
    • • 
        
    • d2/dx2 (Ax+b)T (Ax+b) = 2ATA
      • 
        
  • 
    
  • [C: symmetric]: d2/dx2 (Ax+b)TC(Ax+b) = 2ATCA  
    • 
      
• 
  
  • 
    

复杂矩阵问题求导方法：可以从小到大，从scalar到vector再到matrix。

 x is a column vector, A is a matrix

d(A∗x)/dx=AdAxdxA            

d(xT∗A)/dxT=AdxTAdxTA   

d(xT∗A)/dx=ATdxTAdxAT    

d(xT∗A∗x)/dx=xT(AT+A)dxTAxdxxTATA

practice: