CF553E Kyoya and Train

Kyoya and Train

一个有\(n\)个节点\(m\)条边的有向图，每条边连接了\(a_i\)和\(b_i\)，花费为\(c_i\)。

每次经过某一条边就要花费该边的\(c_i\)。

第\(i\)条边耗时为\(j\)的概率为\(p_{i,j}\)。

现在你从\(1\)开始走到\(n\)，如果你在\(t\)单位时间内（包括\(t\)）到了\(n\)，不需要任何额外花费，否则你要额外花费\(x\)。

问你在最优策略下的期望花费最小为多少。（注意你每走一步都会根据当前情况制定最好的下一步）

\(n\leq 50 ,m \leq 100, t\leq 20000, x\leq 10^6\)

毛啸论文

看别人的代码，我学会了怎么用线性的空间预处理单位根。

\[\frac{2\pi}{2step}\times i=\frac{2\pi}{lim}\times \frac{lim}{2step}\times i\]

而\(\frac{lim}{2step}\times i < \frac{lim}{2},i\in [0,step)\)，所以预处理\(\omega^{\frac{2\pi}{lim}}\)的次幂即可。

co double pi=acos(-1);
struct node {double x,y;};
il node operator+(co node&a,co node&b){
  return (node){a.x+b.x,a.y+b.y};
}
il node operator-(co node&a,co node&b){
  return (node){a.x-b.x,a.y-b.y};
}
il node operator*(co node&a,co node&b){
  return (node){a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x};
}

co int N=55,M=105,T=20005,S=1<<15;
int n,m,t,punish;
int a[M],b[M],c[M],dis[N][N];
double dp[N][T],sum[M][T],p[M][T];
int rev[S];
node w[S],A[S],B[S];

void fourier_trans(node a[],int lim){
  for(int i=0;i<lim;++i)
    if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
  for(int step=1;step<lim;step<<=1){
    int quot=lim/(step<<1);
    for(int i=0;i<lim;i+=step<<1){
      int j=i+step;
      for(int k=0;k<step;++k){
        node t=w[quot*k]*a[j+k];
        a[j+k]=a[i+k]-t,a[i+k]=a[i+k]+t;
      }
    }
  }
}
void solve(int l,int r){
  if(l==r){
    for(int e=1;e<=m;++e)
      dp[a[e]][l]=min(dp[a[e]][l],sum[e][l]+c[e]);
    return;
  }
  int mid=(l+r)>>1;
  solve(mid+1,r);
  int len=int(ceil(log2(r-mid+r-l-1))),lim=1<<len;
  for(int i=0;i<lim;++i){
    rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<(len-1);
    w[i]=(node){cos(i*2*pi/lim),sin(i*2*pi/lim)};
  }
  for(int e=1;e<=m;++e){
    for(int i=0;i<lim;++i)
      A[i]=B[i]=(node){0,0};
    for(int i=mid+1;i<=r;++i)
      A[i-mid-1]=(node){dp[b[e]][i],0};
    for(int i=1;i<=r-l;++i)
      B[r-l-i]=(node){p[e][i],0};
    fourier_trans(A,lim),fourier_trans(B,lim);
    for(int i=0;i<lim;++i){
      A[i]=A[i]*B[i];
      w[i].y=-w[i].y;
    }
    fourier_trans(A,lim);
    for(int i=0;i<lim;++i){
      A[i].x/=lim;
      w[i].y=-w[i].y;
    }
    for(int i=l;i<=mid;++i)
      sum[e][i]+=A[i-mid-1+r-l].x;
  }
  solve(l,mid);
}
int main(){
  scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&t,&punish);
  for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=n;++j)
      dis[i][j]=i==j?0:1e9;
  for(int i=1;i<=m;++i){
    scanf("%d%d%d",a+i,b+i,c+i);
    dis[a[i]][b[i]]=min(dis[a[i]][b[i]],c[i]);
    for(int j=1;j<=t;++j)
      scanf("%lf",p[i]+j),p[i][j]/=100000;
  }
  for(int k=1;k<=n;++k)
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=1;j<=n;++j)
        dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
  for(int i=0;i<N;++i)
    for(int j=0;j<T;++j)
      dp[i][j]=1e9;
  for(int i=1;i<=n;++i) dp[i][t+1]=punish+dis[i][n];
  for(int i=0;i<=t;++i) dp[n][i]=0;
  for(int e=1;e<=m;++e){
    double P=0;
    for(int i=1;i<=t;++i){
      P+=p[e][t+1-i];
      sum[e][i]=P*dp[b[e]][t+1];
    }
  }
  solve(0,t);
  printf("%lf\n",dp[1][0]);
  return 0;
}