【数学】辗转相除法

辗转相除法 又名 欧几里德算法，是求两个数的 \(\gcd\) 的一种办法。

\[若整数 a\ge 整数 b,则 \gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b).\]

证明：

\(\because a\ge b\)

\(\therefore a\) 可表示为 \(a=bq+r\)（其中 \(q\) 是整数，\(r<b\)）.

观察这个等式：

\(\because \gcd(a,b)\mid a, \gcd(a,b)\mid b\)

\(\therefore \gcd(a,b)\mid r\)

\(\therefore \gcd(a,b)\mid b,\gcd(a,b)\mid r\)

\(\therefore \gcd(b,r)\ge\gcd(a,b)\)

同理有 \(\gcd(b,r)\mid a\)，所以 \(\gcd(a,b)\ge \gcd(b,r).\)

\(\therefore \gcd(a,b)=\gcd(b,r).\)

证毕。

体现在代码中就是可以递归求解。

边界：当 \(b=0\) 时，说明上一步的 \(b\mid a\)，则上一步的 \(\gcd(a,b)=b\)，即当前这一步的 \(a\).

\(\text{Code}\)

int gcd(int a, int b)
{
if (!b)
  {
return a;
  }
return gcd(b, a % b);
}