辗转相除法在python中 辗转相除法编程python

倒水

　　有两个容器，容积分别为A升和B升，有无限多的水，现在需要C升水。 我们还有一个足够大的水缸，足够容纳C升水。起初它是空的，我们只能往水缸里倒入水，而不能倒出。 可以进行的操作是： 把一个容器灌满； 把一个容器清空（容器里剩余的水全部倒掉，或者倒入水缸）； 用一个容器的水倒入另外一个容器，直到倒出水的容器空或者倒入水的容器满。     问是否能够通过有限次操作，使得水缸最后恰好有C升水。

输入：三个整数A, B, C，其中 0 < A , B, C <= 1000000000                输出：0或1，表示能否达到要求。

函数头部： c语言：1表示可以，0表示不可以 int can(int a,int b,int c);

c++语言: true表示可以，false表示不可以 bool can(int a,int b,int c);

java语言:true表示可以，false表示不可以 public class Main {public static boolean can(int a,int b,int c); } 

分析

　　经典的倒水问题，有不少公司也出了类似的面试题目，有的以选择题形式出现，也有编程题形式出现的，下面做简要的分析：

　　对题目做简要的处理分析后，C升水是可以分多次倒入的，假设A > B，那么每次可以倒的水的量为A , B , (A + B) ,( A - B)升水，设置4个因子，分别为x₁ ,  x₂,  x₃,  x₄ , (x1 , x2, x3, x4 属于整数)，如果可以使得水缸最后恰好有C升水，那么必然存在整数x₁ , x₂, x₃, x₄，使得

　　　　　　　　　　Ax₁ + Bx₂, +  (A + B)x₃  + (A - B)x₄  = C    等式成立;

　　对等式做一定的变换，得到公式

　　　　　　　　　　(x₁ + x₃ + x₄)A + (x₂ + x₃ - x₄)B = C ;     --( 1-1 )

　　设 x = x₁ + x₃ + x₄ , y = x₂ + x₃ - x₄ ,  x, y 均为整数;最终得到公式

　　　　　　　　　　xA + yB = C ;                                               --( 1-2 )       

　　 x₁ ,  x₂,  x₃,  x₄ 可以假设为正整数，用几个for循环可以实现，但是时间复杂度太大，为O(N⁴)，题目中给的范围是0 < A , B, C <= 1000000000;整数在十亿范围，显然运行时间肯定会超过 3s ，不符合要求，那有没有更加合适的方法呢，在算法的书里面，有一个算法，与公式( 1-2 ) 不谋而合，是扩展的欧几里德算法，算法描述：

定理：

　　对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by.

　　

　　根据欧几里德扩展算法，Gcd(A, B) = Ax + By，求出A和B的最大公约数，如果C能被最大公约数整除Gcd(A, B) 整除，那就可以实现水缸里恰好为C升水；

　　那题目就直接转换为求A 、B的最大公约数了，求公约数可以用辗转相除法，代码如下:

#include "stdio.h"
int can(int a,int b,int c){
    int n = a%b;
    while(n!=0){
        a = b;
        b = n;
        n = a%b;
    }
    if (c%b == 0)
        return 1;
    else 
        return 0;
}
int main(){
    int a,b,c;
    printf("输入a,b,c\n");
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    if ((can(a,b,c))){
        printf("yes");
    } else {
        printf("no");
    }
}