微积分
定义
微分
给定一个 \(x\)，微分表示 \(x\) 变化时 \(y\) 的变化.\(\mathrm dx\) 表示 \(x\) 的变化量.
\(\mathrm{d}y\) 称为微元.
\(\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x\)
如 \(\mathrm{d}(\sin x)=(\sin x)'\mathrm{d}x=\cos x\mathrm{d}x\)
又发现 \(f'(x)=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)
导数是微元和 \(\mathrm{d}x\) 的商，所以导数有时又被称为微商.
积分
微分用来求出某个已知函数的导函数，而积分是微分的逆运算，是找到一个函数使得它的导函数是某个已知函数.这个函数就是已知函数的原函数.
一般将 \(f(x)\) 认为是导函数，\(F(x)\) 是其原函数.
例如 \(F(x)=-\frac12\cos2x\) 是 \(f(x)=\sin2x\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上的原函数.
定理1
若函数 \(f\) 在区间 \(I\) 上连续，则 \(f\) 在 \(I\) 上存在原函数 \(F\).
定理2
若 \(F\) 是 \(f\) 在区间 \(I\) 上的原函数，则
\((i) F+C\) 也是 \(f\) 在区间 \(I\) 上的原函数，其中 \(C\) 为任意常数.
\((ii) f\) 在 \(I\) 上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.
不定积分
函数 \(f\) 在区间 \(I\) 上的全体原函数称为 \(f\) 在 \(I\) 上的不定积分，记做
\[\int f(x)\mathrm dx.
\]
若 \(F\) 是 \(f\) 的一个原函数，则 \(f\) 的不定积分是一个函数群 \(|F+C|\)，写作
\[\int f(x)\mathrm dx=F(x)+C.
\]
有
\[[\int f(x)\mathrm dx]'=f(x)\\\mathrm d\int f(x)\mathrm dx=f(x)\mathrm dx
\]
其中，\(d\) 是微分运算.
基本积分表
大部分积分都难以计算，我们只能将其转换成一些已知的积分.
\[\begin{align*}
&1.\int0\mathrm dx=C.\\
&2.\int1\mathrm dx=\int\mathrm dx=x+C.\\
&3.\int x^a\mathrm dx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C(a\ne-1,x>0).\\
&4.\int\dfrac1x\mathrm dx=\ln |x|+C(x\ne0).\\
&5.\int e^x\mathrm dx=e^x+C.\\
&6.\int a^x\mathrm dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne1).\\
&7.\int\cos ax\mathrm dx=\dfrac1a\sin ax+C(a\ne0).\\
&8.\int\sin ax\mathrm dx=-\dfrac1a\cos ax+C(a\ne0).\\
&9.\int\sec^2x\mathrm dx=\tan x+C.\\
&10.\int\csc^2x\mathrm dx=-\cot x+C.\\
&11.\int\sec x\cdot\tan x\mathrm dx=\sec x+C.\\
&12.\int\csc x\cdot\cot x\mathrm dx=-\csc x+C.\\
&13.\int\dfrac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C_1.\\
&14.\int\dfrac{\mathrm dx}{1+x^2}=\arctan x+C=-\operatorname{arccot} x+C_1.\\
\end{align*}
\]
但像 \(\ln x,\tan x\) 等基本初等函数，现在仍然没有求出他们的原函数.
不定积分线性法则
若 \(f\) 与 \(g\) 在区间 \(I\) 上都存在原函数，\(k_1,k_2\) 是两个任意常数，则 \(k_1f+k_2g\) 在区间 \(I\) 上也存在原函数，且
\[\int[k_1f(x)+k_2g(x)]\mathrm dx=k_1\int f(x)\mathrm dx+k_2\int g(x)\mathrm dx.
\]
证：
\[\begin{align*}
[k_1\int f(x)\mathrm dx+k_2\int g(x)\mathrm dx]'&=k_1(\int f(x)\mathrm dx)'+k_2(\int f(x)\mathrm dx)'\\
&=k_1f(x)+k_2g(x).
\end{align*}
\]
线性法则的一般形式为
\[\int(\sum_{i=1}^nk_if_i(x))\mathrm dx=\sum_{i=1}^n(k_i\int f_i(x)\mathrm dx).
\]
由此可以将一个积分拆开来分别积分然后相加得到原积分.
例
- 求 \(\int(10^x-10^{-x})^2\mathrm dx.\)
\[\begin{align*}
\int(10^x-10^{-x})^2\mathrm dx&=\int(10^{2x}+10^{-2x}-2)\mathrm dx\\
&=\int[(10^2)^x+(10^{-2})^x-2]\mathrm dx\\
&=\dfrac{(10^2)^x}{\ln (10^2)}+\dfrac{(10^{-2})^x}{\ln (10^{-2})}-2x+C\\
&=\dfrac{1}{2\ln 10}(10^{2x}-10^{-2x})-2x+C.
\end{align*}
\]
- 求 \(\int(1-x+x^3-\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})\mathrm dx.\)
\[\int(1-x+x^3-\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})\mathrm dx=x-\frac12x^2+\frac14x^4-3x^{\frac13}+C.
\]
- 求 \(\int(2^x+3^x)\mathrm dx.\)
\[\int(2^x+3^x)\mathrm dx=\frac{1}{\ln 4}4^x+\frac{2}{\ln 6}6^x+\frac{1}{\ln 9}9^x+C.
\]
- 求 \(\int\sin^2x\mathrm dx.\)
\[\begin{align*}
\int\sin^2x\mathrm dx&=\frac12\int2\sin^2\mathrm dx\\
&=\frac12\int(1-\cos2x)\mathrm dx\\
&=\frac12(x-\frac12\sin2x)+C.
\end{align*}
\]
- 求 \(\int\frac{\cos2x}{\cos^2x\cdot\sin^2x}\mathrm dx.\)
\[\begin{align*}
\int\frac{\cos2x}{\cos^2x\cdot\sin^2x}\mathrm dx&=\int\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x\cdot\sin^2x}\mathrm dx\\
&=\int(\frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{\cos^2x})\mathrm dx \\
&=\int(\csc^2x-\sec^2x)\mathrm dx \\
&=-\cot x-\tan x+C.
\end{align*}
\]
换元积分法
感性理解：就是把前面的一些项放进后面的 \(\mathrm dx\) 里，使 \(\mathrm dx\) 变成前面剩下的式子的形式，或者把前面的项变成 \(\mathrm d\) 里面的项的形式.
前者称为第一换元积分法，后者称为第二换元积分法.
注意到 \(d(f)=f'\mathrm dx\).
例
- 求 \(\int\tan x\mathrm dx.\)
\[\int\tan x\mathrm dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm dx
\]
由 \(-\sin x\mathrm dx=\mathrm d(\cos x)\)
则
\[\begin{align*}
\int\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm dx&=-\int\frac{1}{\cos x}\mathrm d(\cos x)\\
&=-\ln|\cos x|+C.
\end{align*}
\]
- 求 \(\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}(a>0).\)
\[\begin{align*}
\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}&=\int\frac{(\dfrac1a)^2\mathrm dx}{1+(\dfrac xa)^2}\\
&=\frac1a\int\frac{\mathrm d(\dfrac xa)}{1+(\dfrac xa)^2}\\
&=\frac1a\arctan\frac xa+C.
\end{align*}
\]
- 求 \(\int\cos(3x+4)\mathrm dx.\)
\[\begin{align*}
\int\cos(3x+4)\mathrm dx&=\frac13\int\cos(3x+4)\mathrm d(3x+4)\\
&=\frac13\sin(3x+4)+C.
\end{align*}
\]
- 求 \(\int xe^{2x^2}\mathrm dx.\)
\[\begin{align*}
\int xe^{2x^2}\mathrm dx&=\int xe^{2x^2}\frac{\mathrm d(2x^2)}{4x}\\
&=\frac14\int e^{2x^2}\mathrm d(2x^2)\\
&=\frac14e^{2x^2}+C.
\end{align*}
\]
- 求\(\int\frac{\mathrm dx}{2x+1}.\)
\[\begin{align*}
\int\frac{\mathrm dx}{2x+1}&=\frac12\int\frac{\mathrm d(2x+1)}{2x+1}\\
&=\frac12\ln|2x+1|+C.
\end{align*}
\]
- 求 \(\int(1+x)^n\mathrm dx.\)
\[\begin{align*}
\int(1+x)^n\mathrm dx&=\int(1+x)^n\mathrm d(1+x)\\
&=\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}+C.
\end{align*}
\]
- 求 \(\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt[3]{7-5x}}\).
\[\begin{align*}
\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt[3]{7-5x}}&=-\frac15\int(7-5x)^{-\frac13}\mathrm d(7-5x)\\
&=-\frac{3}{10}(7-5x)^{\frac23}+C.
\end{align*}
\]
- 求\(\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx(a>0).\)
令 \(t=\arcsin \dfrac xa,|t|\leq\dfrac\pi2\) （这是存在反函数 \(t=\arcsin\dfrac xa\) 的一个单调区间）.
则 \(x=a\sin t\)，于是
\[\begin{align*}
\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx&=\int\sqrt{a^2-a^2\sin^2 t}\mathrm d(a\sin t)\\
&=a^2\int \cos^2 t\mathrm dt\\
&=a^2\int (1-\sin^2 t)\mathrm dt\\
&=a^2\int \frac{1+\cos^2t-\sin^2t}2\mathrm dt\\
&=\frac{a^2}2\int(1+\cos2t)\mathrm dt\\
&=\frac{a^2}2(t+\frac12\sin2t)\\
&=\frac{a^2}2(\arcsin\frac xa+\sin t\cos t)\\
&=\frac{a^2}2(\arcsin\frac xa+\frac xa\sqrt{1-(\frac xa)^2})\\
&=\frac12(a^2\arcsin\frac xa+x\sqrt{a^2-x^2})+C.
\end{align*}
\]
分部积分法
由乘积求导法，可以导出分部积分法.
定理：若 \(u(x)\) 和 \(v(x)\) 可导，不定积分 \(\int u'(x)v(x)\mathrm dx\) 存在，则 \(\int u(x)v'(x)\mathrm dx\) 也存在，并有：
\[\int u(x)v'(x)\mathrm dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm dx.
\]
证：由
\[[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
\]
两边求不定积分，得到：
\[u(x)v(x)=\int u(x)v'(x)\mathrm dx+\int u'(x)v(x)\mathrm dx,\\
\int u(x)v'(x)\mathrm dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm dx.
\]
即为上式.
这个公式称为分部积分公式，注意到 \(d(f)=f'\mathrm dx\)，这个公式常简写作
\[\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du.
\]
利用该式计算积分即为分部积分法.
例
- 求 \(\int \arcsin x\mathrm dx.\)
此处看到一个隐函数求导的方法：求\((\arcsin x)'\)
令 \(y=\arcsin x\)，则 \(\sin y=x\)，把 \(\sin y\) 看做复合函数，对两边求导得
\(\cos y\cdot y'=1\)，则 \(y'=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
所以 \((\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
那么
\[\begin{align*}
\int \arcsin x\mathrm dx&=x\arcsin x-\int x\mathrm d(\arcsin x)\\
&=x\arcsin x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx\\
&=x\arcsin x-\int x(1-x^2)^{-\frac12}\frac{\mathrm d(1-x^2)}{-2x}\\
&=x\arcsin x+\frac12\int(1-x^2)^{-\frac12}\mathrm d(1-x^2)\\
&=x\arcsin x+\frac12\frac{(1-x^2)^{\frac12}}{\frac12}\\
&=x\arcsin x+(1-x^2)^{\frac12}+C.
\end{align*}
\]
- 求 \(\int \ln x\mathrm dx.\)
\[\begin{align*}
\int \ln x\mathrm dx&=x\ln x-\int x\mathrm d(\ln x)\\
&=x\ln x-\int\mathrm dx\\
&=x\ln x-x+C.
\end{align*}
\]
- 求 \(\int x^2\cos x\mathrm dx.\)
\[\begin{align*}
\int x^2\cos x\mathrm dx&=\int x^2\mathrm d(\sin x)\\
&=x^2\sin x-\int\sin x\mathrm d(x^2)\\
&=x^2\sin x-2\int x\sin x\mathrm dx\\
&=x^2\sin x+2\int x\mathrm d(\cos x)\\
&=x^2\sin x+2(x\cos x-\int \cos x\mathrm dx)\\
&=x^2\sin x+2(x\cos x-\sin x)\\
&=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C.
\end{align*}
\]
- 求 \(\int \frac{\ln x}{x^3}\mathrm dx.\)
\[\begin{align*}
\int \frac{\ln x}{x^3}\mathrm dx&=\int x^{-3}\ln x\mathrm dx\\
&=-\frac12\int\ln x\mathrm d(x^{-2})\\
&=-\frac12(x^{-2}\ln x-\int x^{-2}\mathrm d(\ln x))\\
&=-\frac12(x^{-2}\ln x-\int x^{-3}\mathrm dx)\\
&=-\frac12(x^{-2}\ln x-\frac12x^{-2})\\
&=\frac{\frac12-\ln x}{2x^2}+C.
\end{align*}
\]
定积分
不定积分是求导的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限，他们本质不同，但形式类似，又有伟大的牛顿-莱布尼茨公式，所以我们可以用解不定积分的方法来解决定积分的问题.
定积分一个经典的运用是求函数图形面积.
我们计算一个函数 \(f\) 的一部分与 \(x\) 轴，和两条直线围成的封闭图形的面积，将 \(\mathrm dx\) 视作横坐标的变化量，将 \(f(x)\) 视作高度，当 \(\mathrm dx\) 无穷小时，该图形面积可以表示为
\[\int_a^bf(x)\mathrm dx,
\]
由牛顿-莱布尼茨公式，有
\[\int_a^bf(x)\mathrm dx=F(b)-f(a)=F(x)|_a^b.
\]
计算图形面积
- 求 \(y=\dfrac1x\) 从 \(1\) 到 \(2\) 与 \(x\) 轴围成的面积
即为
\[\int_1^2\frac1x\mathrm dx=\ln x|_1^2=\ln2-\ln1=\ln2
\]
- 求 \(y=\sin x\) 从 \(0\) 到 \(\pi\) 的面积
即为
\[\int_0^\pi\sin x\mathrm dx=-\cos x|_0^\pi=-\cos\pi+\cos0=2
\]
- 推导圆的面积公式：
求 \(\frac14\) 圆的面积
即为
\[\begin{align*}
\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\mathrm dx&=\frac12(r^2\arcsin\frac xr+x\sqrt{r^2-x^2})|_0^r\\
&=\frac{\pi r^2}{4}-0\\
&=\frac{\pi r^2}{4}
\end{align*}
\]
所以圆面积公式为 \(4\times \dfrac{\pi r^2}{4}=\pi r^2\).
第一步的变换是换元积分法的例8.
21.11.3
