经过前面的一系列博文，自然数的公理化构造及其性质 ,从自然数到整数 , 从整数到有理数 ,从有理数到实数(序) ,实数的构造 ,我们的实数构造之路基本上可以告一个段落了.感谢《陶哲轩实分析》这么严格认真地构造实数,我的这几篇博文完全是《陶哲轩实分析》前几章的浓缩版(浓缩后不失严格性).
但是,在这篇后记里，我们要回答一个重大的问题:什么是实数?总不能在辛辛苦苦地构造完实数系后，连实数是什么都回答不出来吧?
那好，我们来看看在《陶哲轩实分析》里，实数到底是什么.让我们回顾一下,陶说，记号$\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty}$,这个记号就叫实数.其中$(a_n)_{n=1}^{\infty}$是一个有理柯西列.
这个记号是什么意思啊?是极限的意思吗?不，不是，极限在此时还没有被定义呢！那这个“大写的极限”到底是什么意思啊?我认为这个记号什么意思也没有.它只是形式化的符号而已！假如你看$\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty}$不爽的话，你可以把它换成@$(a_n)_{n=1}^{\infty}$,或者其它什么的.
然后，陶哲轩就是“以该符号之名，行数列的操作之实”.比如，他是这么干的:定义实数$\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty}$和$\hbox{LIM}(b_n)_{n=1}^{\infty}$的和为$\hbox{LIM}(a_n+b_n)_{n=1}^{\infty}$.如果这不是"顶着符号的虚名，在那里把两个有理柯西列加起来"，那又会是什么呢?诸如此类的，陶以后的一系列定义，都是在干这种事.
即使是陶在后面定义了实柯西列的极限，表明这个形式化的记号其实就是极限，事情也没发生转机.我们只是用真正的极限代替了这个"大写的空洞极限符号"，可是什么是真正的极限呢？真正的极限还不是靠着这个"大写的极限符号"在后面撑着的?!
所以自始自终，一个实数就是一个"形式化的符号"而已.那该咋办呢?这算不算陶的失败?我在陶的博客上也问了这样的问题.如图
下面我先给出自己的回答.如果陶自己回答了我的问题，我就把陶的回答也贴上来.
我认为陶是不会错的.虽然我们是用一个"根本没有意义的形式化的符号"代表一个实数，但是我们在此间探讨了实数的性质.实数是什么，根本不重要，重要的是实数能干什么.所以我们只用一个没用的虚名表示一个实数也行,重要的是实数有什么性质.觉得这样说太玄乎了么?那我把它说的不玄乎一点.老子说"大象无形"，老子又说"吾有大患,为吾有身;及吾无身,吾有何患?".老子在告诉我们一个真理,那就是：“具体的形态会带来巨大的局限”.陶神不用具体的东西来定义实数，而只是用一个“形式化的符号”表示实数,我们可以给形式化的符号赋予具体的意义.比如，我们可以干脆定义$\hbox{LIM}(a_n)_{n=1}^{\infty}$就是$(a_n)_{n=1}^{\infty}$本身,这丝毫没带来矛盾.此时，我们就是定义实数本身就是$(a_n)_{n=1}^{\infty}$这个柯西列！
因为不定，方能成其大，不是陶不会定义实数是什么，而是定义实数是什么并不重要，因为无论怎么定义实数是什么，实数的性质就在那里，不多也不少！我的后记，就到这里.
更新1:陶对我的问题回复了，见http://terrytao.wordpress.com/books/analysis-i/#comment-179723 .虽然我上面自己的回答和他的差不多，但是他回答的更好更精准.所以以陶的回复为标准答案.看陶的博客要FQ.为了照顾不会FQ的，我贴图如下:
