一、总结
一句话总结：
1、二维公园（坐标轴）里的椅子上有一个孤独的向量v（-2，2），一个忠心（不变）的矩阵A试图从左边搭讪向量v，于是他们坐在一起得到向量Av
2、秀外慧中的向量v彻底迷住了矩阵A，待到离别时，A心里始终放不下v，当v去一个地方的时候，Av（A心里有着v，不是单纯的A）也陪着她去，就这样经历漫长的约会和成长（即下图中的向量v从左边移到右边）
3、向量v和Av结婚了（共线）！结婚后的向量v多了一份名义，叫做特征向量。而且向量Av的责任也变多了（上图是向量Av相对向量v来说伸长了）。
4、也就是说，向量v与矩阵A的结婚后，向量Av保持忠心（方向）不变，责任变多了或什么东西变少了（进行比例为λ的伸缩）。
二、特征值与特征向量
定义：
对于给定矩阵A，寻找一个常数λ（可以为复数）和非零向量x，使得向量x被矩阵A作用后所得的向量Ax与原向量x平行，并且满足Ax=λx。
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特征值和特征向量的几何意义
看到硬生生的定义，模友估计会感到有点迷糊，那超模君就再从几何角度来讲一下它们到底是什么东西：
我们以一个恋爱故事为栗子：
二维公园（坐标轴）里的椅子上有一个孤独的向量v（-2，2），一个忠心（不变）的矩阵A试图从左边搭讪向量v，于是他们坐在一起得到向量Av
他们就开始上谈天文，下聊地理。秀外慧中的向量v彻底迷住了矩阵A，待到离别时，A心里始终放不下v，当v去一个地方的时候，Av（A心里有着v，不是单纯的A）也陪着她去，就这样经历漫长的约会和成长（即下图中的向量v从左边移到右边），终于……
向量v和Av结婚了（共线）！结婚后的向量v多了一份名义，叫做特征向量。而且向量Av的责任也变多了（上图是向量Av相对向量v来说伸长了）。也就是说，向量v与矩阵A的结婚后，向量Av保持忠心（方向）不变，责任变多了或什么东西变少了（进行比例为λ的伸缩）。
那么我们也许会问：什么东西会变少呢？在恋爱中，向量v喜欢去爬山，向量Av喜欢玩游戏，他们一起度过许多美好时光。
结婚后，向量Av的责任变多了，要撑起这一个家，把更多心思花在孩子教育上，兴趣爱好变少了（上图中容易看出这时候向量Av相对向量v来说“缩短”了）。责任对应的特征值大于1（伸长），兴趣爱好对应的特征值小于1（缩短）。
随着时间的流逝（上下移动v）我们还发现，有两条直线上有着v和Av的所有踪迹，这就是他们的生活空间（特征空间）。换句话说，特征空间包含所有的特征向量。
下面的一个类比可以帮助我们更好的理解特征值和特征向量：
如果把矩阵看作是运动，那么特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向。
特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1，所有属于此特征值的特征向量变长；特征值大于0小于1，特征向量缩短；特征值小于0，特征向量缩过了界，反方向到原点那边去了。
为了让模友们看清楚它们的变化，超模君做了几个动图，我们来感受一下吧：
（1）首先，我们通过改变向量v的位置，看看向量Av有什么变化（矩阵A不动噢）
（2）然后，我们不要动向量v，改变矩阵A每一列（通过移动a1和a2），再看看向量Av有什么变化
（3）接下来是见证奇迹的时刻！看看超模君的金手指怎么移动向量v使它变成特征向量吧！（不好意思，在上移的时候手抖了一下）
（4）最后，我们改变矩阵A（通过移动a1和a2），重点看看特征空间（S1和S2）是怎么变化（特征值也会发生变化哟）
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特征值和特征向量的应用
说了这么多，可能有模友会问：到底特征值和特征向量有什么用呢？不会仅仅用来考试吧！
其实，特征值和特征向量在我们的生活中都是非常普遍的。
(1)可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中。例如，在力学中，惯量的特征向量定义了刚体的主轴。惯量是决定刚体围绕质心转动的关键数据；
(2)数学生态学家用来预测原始森林遭到何种程度的砍伐，会造成猫头鹰的种群灭亡；
(3)著名的图像处理中的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法，还有图像压缩的K-L变换。再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面。
(4)在谱系图论中，一个图的特征值定义为图的邻接矩阵A的特征值，或者（更多的是）图的拉普拉斯算子矩阵，Google的PageRank算法就是一个例子。
有一句话说得好：“只要有振动就有特征值，即振动的自然频率”。如果你曾经弹过吉他，你已经求解了一个特征值问题。。。
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