题目大意:
题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4550
有nnn种不同的邮票,皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买,每次只能买一张,并且买到的邮票究竟是nnn种邮票中的哪一种是等概率的,概率均为1n\frac{1}{n}n1。但是由于凡凡也很喜欢邮票,所以皮皮购买第kkk张邮票需要支付kkk元钱。
现在皮皮手中没有邮票,皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。
思路:
设f[i]f[i]f[i]表示取到第iii张邮票,把剩余油票全部去完的期望次数。
那么有in\frac{i}{n}ni的概率取到已经有的邮票,有n−in\frac{n-i}{n}nn−i的概率取到没有取得邮票。
所以递推式为
f[i]=in×f[i]+n−in×f[i+1]f[i]=\frac{i}{n}\times f[i]+\frac{n-i}{n}\times f[i+1]f[i]=ni×f[i]+nn−i×f[i+1]
令T=n−in×f[i+1]T=\frac{n-i}{n}\times f[i+1]T=nn−i×f[i+1],移项得
T=f[i]−in×f[i]T=f[i]-\frac{i}{n}\times f[i]T=f[i]−ni×f[i]
f[i]=nn−i×(n−in×f[i+1]+1)f[i]=\frac{n}{n-i}\times (\frac{n-i}{n}\times f[i+1]+1)f[i]=n−in×(nn−i×f[i+1]+1)
f[i]=f[i+1]+nn−if[i]=f[i+1]+\frac{n}{n-i}f[i]=f[i+1]+n−in
然后设g[i]g[i]g[i]表示取到第iii张邮票,把剩余油票全部去完的期望费用。
同理,有in\frac{i}{n}ni的概率取到已经有的邮票,有n−in\frac{n-i}{n}nn−i的概率取到没有取得邮票。
所以有
g[i]=in×(g[i]+f[i]+1)+n−in×(g[i+1]+f[i+1]+1)g[i]=\frac{i}{n}\times (g[i]+f[i]+1)+\frac{n-i}{n}\times (g[i+1]+f[i+1]+1)g[i]=ni×(g[i]+f[i]+1)+nn−i×(g[i+1]+f[i+1]+1)
注意这里其实没有加上本次取得费用,在化简后的式子上加会更简洁。
令T=n−in×(g[i+1]+f[i+1]+1)T=\frac{n-i}{n}\times (g[i+1]+f[i+1]+1)T=nn−i×(g[i+1]+f[i+1]+1),合并同类项得
in×f[i]+in+T=g[i]−ing[i]\frac{i}{n}\times f[i]+\frac{i}{n}+T=g[i]-\frac{i}{n}g[i]ni×f[i]+ni+T=g[i]−nig[i]
in×f[i]+in+n−in×(g[i+1]+f[i+1]+1)=n−ing[i]\frac{i}{n}\times f[i]+\frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}\times (g[i+1]+f[i+1]+1)=\frac{n-i}{n}g[i]ni×f[i]+ni+nn−i×(g[i+1]+f[i+1]+1)=nn−ig[i]
g[i]=in−i×f[i]+g[i+1]+f[i+1]g[i]=\frac{i}{n-i}\times f[i]+g[i+1]+f[i+1]g[i]=n−ii×f[i]+g[i+1]+f[i+1]
加上费用
g[i]=g[i]=in−i×(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1g[i]=g[i]=\frac{i}{n-i}\times (f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1g[i]=g[i]=n−ii×(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1
然后就是一道简单的递推题了。
概率题真恶心。
代码:
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=10010;
double f[N],g[N],m;
int n;
int main()
{
scanf("%d",&n);
m=(double)n;
for (int i=n-1;i>=0;i--)
{
double j=(double)i;
f[i]=f[i+1]+m/(m-j);
}
for (int i=n-1;i>=0;i--)
{
double j=(double)i;
g[i]=j/(m-j)*(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1;
}
printf("%0.2lf",g[0]);
return 0;
}