BZOJ 1426 收集邮票 期望dp

Description

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。 现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

Input

一行,一个数字N N<=10000

Output

要付出多少钱. 保留二位小数

Sample Input

3

Sample Output

21.25

HINT

​​传送门​​

看的题解orz……

好复杂啊= =跟着它推了半天。。。

对了题目中“第k张邮票k元钱”，意思是你买的第k张而不是顺序里的第k张。。。

就当是给他的一个补充说明了。。

（无耻拿几个图）

设g(i)表示当前手上有i种邮票，要买到n种邮票还要买的期望张数。

pr(x,i)表示当前手上有i种邮票，又买了x张，买到n种邮票的概率。

g(i)如何表示？假设买一张就可以买到(i+1)种，买2张就可以买到(i+1)种……相当于枚举x

于是直接表示出g(i)的表达式（pr(x,i)直接表示出）

（无耻贴图=v=）

这个式子看似是无穷的，但是假如从g(i+1)推来弄一个递推的表达式，

那么就可以化无穷为有限的递推。

用错位相减法可以搞出来g(i)=g(i+1)+n/(n-i)

然后用f(i,j)表示有i种邮票，在买第j张（或者下一张要n）要买到n种的期望花费，

同理是可以枚举j的，然后统计期望花费，然而j是无穷的，

根据f(i,j)的定义式又可以写出这么个东西：

（唔。。偷偷拿个图）

这个式子是什么意义呢，，x枚举的是剩余买的次数，

那么还要买x次，从下次开始，先是j元，再是(j+1)元……

然后f(i,j)还可以写出一个递推的式子，因为可以考虑只买下一张邮票，

假如说买了下一张变成了(i+1)种，概率是i/n，(i+1)种的期望是f(i+1,j+1)

假如说买了下一张还是i种，概率是(n-i)/n，i种的期望是f(i,j+1)

也就是：

有了定义式和递推式，然而递推式子里有一个无穷的j，

所以再用f(i,j+1)-f(i,j)，得出

竟然刚好是g(i)……太神了。。

于是可以把f(i,j)递推式里面的f(i,j+1)，f(i+1,j+1)代掉了，然后化简，

但是化简之后还剩下f(i,j)？能够发现，j在递推中没有变，都是j项，

所以j项是可以直接省去的，答案是f(0,1)，那么j都是1即可。

就得到了：

……慌张。。就这么推完了。。

再次orz……

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double g[10005],f[10005];
int main(){
  scanf("%d",&n);
  for (int i=n-1;~i;i--) g[i]=g[i+1]+(double)n/(double)(n-i);
  for (int i=n-1;~i;i--) f[i]=(g[i]*i+(g[i+1]+f[i+1])*(n-i)+n)/(double)(n-i);
  printf("%.2lf\n",f[0]);
  return 0;
}