最短路径算法总结

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mob604756ef1373 2021-04-21 19:20:00

文章标签 最短路结点时间复杂度权值最短路径 文章分类 数据结构与算法人工智能

定义

（还记得这些定义吗？如果对图的概念和存储不了解请点击链接）

路径
最短路
有向图中的最短路、无向图中的最短路
单源最短路、每对结点之间的最短路

性质

对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，不会经过重复的结点。

对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，不会经过重复的边。

对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，任意一条的结点数不会超过 \(n\) ，边数不会超过 \(n-1\) 。

Floyd 算法

是用来求任意两个结点之间的最短路的。

复杂度比较高，但是常数小，容易实现。（我会说只有三个 for 吗？）

适用于任何图，不管有向无向，边权正负，但是最短路必须存在。（不能有个负环）

实现

我们定义一个数组 f[k][x][y] ，表示只允许经过结点 \(1\) 到 \(k\) ，结点 \(x\) 到结点 \(y\) 的最短路长度。

很显然， f[n][x][y] 就是结点 \(x\) 到结点 \(y\) 的最短路长度。

我们来考虑怎么求这个数组

f[0][x][y] ：边权，或者 \(0\) ，或者 \(+\infty\) （ f[0][x][x] 什么时候应该是 \(+\infty\) ？）

f[k][x][y] = min(f[k-1][x][y], f[k-1][x][k]+f[k-1][k][y])

上面两行都显然是对的，然而这个做法空间是 \(O(N^3)\) 。

但我们发现数组的第一维是没有用的，于是可以直接改成 f[x][y] = min(f[x][y], f[x][k]+f[k][y]) ，

for (int k = 1; k <= n; ++k)
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
    f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);

时间复杂度是 \(O(N^3)\) ，空间复杂度是 \(O(N^2)\) 。

应用

"给一个正权无向图，找一个最小权值和的环。"

首先这一定是一个简单环。

想一想这个环是怎么构成的。
考虑环上编号最大的结点 u。
f[u-1][x][y] 和 (u,x), (u,y）共同构成了环。
在 Floyd 的过程中枚举 u，计算这个和的最小值即可。
\(O(n^3)\) 。

"已知一个有向图中任意两点之间是否有连边，要求判断任意两点是否连通。"

该问题即是求 图的传递闭包 。

我们只需要按照 Floyd 的过程，逐个加入点判断一下。
只是此时的边的边权变为 \(1/0\) ，而取 \(\min\) 变成了与运算。
再进一步用 bitset 优化，复杂度可以到 \(O(\frac{n^3}{w})\) 。

// std::bitset<SIZE> f[SIZE];
for (k = 1; k <= n; k++)
for (i = 1; i <= n; i++)
 if (f[i][k]) f[i] = f[i] & f[k];

Bellman-Ford 算法

一种基于松弛（relax）操作的最短路算法。

支持负权。

能找到某个结点出发到所有结点的最短路，或者报告某些最短路不存在。

在国内 OI 界，你可能听说过的“SPFA”，就是 Bellman-Ford 算法的一种实现。（优化）

实现

假设结点为 \(S\) 。

先定义 \(dist(u)\) 为 \(S\) 到 \(u\) （当前）的最短路径长度。

\(relax(u,v)\) 操作指： \(dist(v) = min(dist(v), dist(u) + edge\_len(u, v))\) .

\(relax\) 是从哪里来的呢？

三角形不等式： \(dist(v) \leq dist(u) + edge\_len(u, v)\) 。

证明：反证法，如果不满足，那么可以用松弛操作来更新 \(dist(v)\) 的值。

Bellman-Ford 算法如下：

while (1) for each edge(u, v) relax(u, v);

当一次循环中没有松弛操作成功时停止。

每次循环是 \(O(m)\) 的，那么最多会循环多少次呢？

答案是 \(\infty\) ！（如果有一个 \(S\) 能走到的负环就会这样）

但是此时某些结点的最短路不存在。

我们考虑最短路存在的时候。

由于一次松弛操作会使最短路的边数至少 \(+1\) ，而最短路的边数最多为 \(n-1\) 。

所以最多执行 \(n-1\) 次松弛操作，即最多循环 \(n-1\) 次。

总时间复杂度 \(O(NM)\) 。 （对于最短路存在的图）

relax(u, v) {
  dist[v] = min(dist[v], dist[u] + edge_len(u, v));
}
for (i = 1; i <= n; i++) {
  dist[i] = edge_len(S, i);
}
for (i = 1; i < n; i++) {
  for each edge(u, v) {
    relax(u, v);
  }
}

注：这里的 \(edge\_len(u, v)\) 表示边的权值，如果该边不存在则为 \(+\infty\) ， \(u=v\) 则为 \(0\) 。

应用

给一张有向图，问是否存在负权环。

做法很简单，跑 Bellman-Ford 算法，如果有个点被松弛成功了 \(n\) 次，那么就一定存在。

如果 \(n-1\) 次之内算法结束了，就一定不存在。

队列优化：SPFA

即 Shortest Path Faster Algorithm。

很多时候我们并不需要那么多无用的松弛操作。

很显然，只有上一次被松弛的结点，所连接的边，才有可能引起下一次的松弛操作。

那么我们用队列来维护“哪些结点可能会引起松弛操作”，就能只访问必要的边了。

q = new queue();
q.push(S);
in_queue[S] = true;
while (!q.empty()) {
  u = q.pop();
  in_queue[u] = false;
  for each edge(u, v) {
    if (relax(u, v) && !in_queue[v]) {
      q.push(v);
      in_queue[v] = true;
    }
  }
}

虽然在大多数情况下 SPFA 跑得很快，但其最坏情况下的时间复杂度为 \(O(NM)\) ，将其卡到这个复杂度也是不难的，所以考试时要谨慎使用（在没有负权边时最好使用 Dijkstra 算法，在有负权边且题目中的图没有特殊性质时，若 SPFA 是标算的一部分，题目不应当给出 Bellman-Ford 算法无法通过的数据范围）。

SPFA 的优化之 SLF

即 Small Label First。

即在新元素加入队列时，如果队首元素权值大于新元素权值，那么就把新元素加入队首，否则依然加入队尾。

该优化在确实在一些图上有显著效果，但是如果有负权边的话，可以直接卡到指数级。

Dijkstra 算法

Dijkstra 是个人名（荷兰姓氏）。

IPA:/ˈdikstrɑ/或/ˈdɛikstrɑ/。

这种算法只适用于非负权图，但是时间复杂度非常优秀。

也是用来求单源最短路径的算法。

实现

主要思想是，将结点分成两个集合：已确定最短路长度的，未确定的。

一开始第一个集合里只有 \(S\) 。

然后重复这些操作：

对那些刚刚被加入第一个集合的结点的所有出边执行松弛操作。
从第二个集合中，选取一个最短路长度最小的结点，移到第一个集合中。

直到第二个集合为空，算法结束。

时间复杂度：只用分析集合操作， \(n\) 次 delete-min ， \(m\) 次 decrease-key 。

如果用暴力： \(O(n^2 + m) = O(n^2)\) 。

如果用堆 \(O(m \log n)\) 。

如果用 priority_queue： \(O(m \log m)\) 。

（注：如果使用 priority_queue，无法删除某一个旧的结点，只能插入一个权值更小的编号相同结点，这样操作导致堆中元素是 \(O(m)\) 的）

如果用线段树（ZKW 线段树）： \(O(m \log n + n) = O(m \log n)\)

如果用 Fibonacci 堆： \(O(n \log n + m)\) （这就是为啥优秀了）。

等等，还没说正确性呢！

分两步证明：先证明任何时候第一个集合中的元素的 \(dist\) 一定不大于第二个集合中的。

再证明第一个集合中的元素的最短路已经确定。

第一步，一开始时成立（基础），在每一步中，加入集合的元素一定是最大值，且是另一边最小值，每次松弛操作又是加上非负数，所以仍然成立。（归纳）（利用非负权值的性质）

第二步，考虑每次加进来的结点，到他的最短路，上一步必然是第一个集合中的元素（否则他不会是第二个集合中的最小值，而且有第一步的性质），又因为第一个集合内的点已经全部松弛过了，所以最短路显然确定了。

H = new heap();
H.insert(S, 0);
dist[S] = 0;
for (i = 1; i <= n; i++) {
  u = H.delete_min();
  for each edge(u, v) {
    if (relax(u, v)) {
      H.decrease_key(v, dist[v]);
    }
  }
}

Johnson 全源最短路径算法

Johnson 和 Floyd 一样，是一种能求出无负环图上任意两点间最短路径的算法。该算法在 1977 年由 Donald B. Johnson 提出。

任意两点间的最短路可以通过枚举起点，跑 \(n\) 次 Bellman-Ford 算法解决，时间复杂度是 \(O(n^2m)\) 的，也可以直接用 Floyd 算法解决，时间复杂度为 \(O(n^3)\) 。

注意到堆优化的 Dijkstra 算法求单源最短路径的时间复杂度比 Bellman-Ford 更优，如果枚举起点，跑 \(n\) 次 Dijkstra 算法，就可以在 \(O(nm\log m)\) （取决于 Dijkstra 算法的实现）的时间复杂度内解决本问题，比上述跑 \(n\) 次 Bellman-Ford 算法的时间复杂度更优秀，在稀疏图上也比 Floyd 算法的时间复杂度更加优秀。

但 Dijkstra 算法不能正确求解带负权边的最短路，因此我们需要对原图上的边进行预处理，确保所有边的边权均非负。

一种容易想到的方法是给所有边的边权同时加上一个正数 \(x\) ，从而让所有边的边权均非负。如果新图上起点到终点的最短路经过了 \(k\) 条边，则将最短路减去 \(kx\) 即可得到实际最短路。

但这样的方法是错误的。考虑下图：

最短路径算法总结_结点

\(1 \to 2\) 的最短路为 \(1 \to 5 \to 3 \to 2\) ，长度为 \(−2\) 。

但假如我们把每条边的边权加上 \(5\) 呢？

最短路径算法总结_最短路径_02

新图上 \(1 \to 2\) 的最短路为 \(1 \to 4 \to 2\) ，已经不是实际的最短路了。

Johnson 算法则通过另外一种方法来给每条边重新标注边权。

我们新建一个虚拟节点（在这里我们就设它的编号为 \(0\) ）。从这个点向其他所有点连一条边权为 \(0\) 的边。

接下来用 Bellman-Ford 算法求出从 \(0\) 号点到其他所有点的最短路，记为 \(h_i\) 。

假如存在一条从 \(u\) 点到 \(v\) 点，边权为 \(w\) 的边，则我们将该边的边权重新设置为 \(w+h_u-h_v\) 。

接下来以每个点为起点，跑 \(n\) 轮 Dijkstra 算法即可求出任意两点间的最短路了。

一开始的 Bellman-Ford 算法并不是时间上的瓶颈，若使用 priority_queue 实现 Dijkstra 算法，该算法的时间复杂度是 \(O(nm\log m)\) 。

实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

//节点编号1 ~ |V|
const int MAXV = 100 + 1;
const int INF  = 1e5;

vector<vector<int>> dist(MAXV, vector<int>(MAXV, INF)); // 距离矩阵，第一维是起始点,0编号存放S'到各个点的距离
vector<vector<int>> parent(MAXV, vector<int>(MAXV, 0)); //前驱子图，第一维是起始点

struct E {
    int v;
    int w;
    E(int v, int w) : v(v), w(w) {}
    E() {}
};
typedef pair<int, int> P; //first存d,second存下标

struct Graph {
    vector<E> adj[MAXV];
    int n;
    int m;
};
Graph graph;

bool bellman_ford(int s) {
    dist[s][s] = 0;
    int n      = graph.n + 1;
    for (int k = 1; k <= n - 1; ++k) {
        for (int u = 0; u <= graph.n; ++u) { //u从0开始，0代表新添加的点
            for (int j = 0; j < graph.adj[u].size(); ++j) {
                E e   = graph.adj[u][j];
                int v = e.v;
                if (dist[s][v] > dist[s][u] + e.w) {
                    dist[s][v] = dist[s][u] + e.w;
                }                        //end if
            }                            //end for
        }                                //end for
    }                                    //end for
                                         //检查有没有从s可达的负圈
    for (int u = 0; u <= graph.n; ++u) { // u从0开始
        for (int j = 0; j < graph.adj[u].size(); ++j) {
            E e = graph.adj[u][j]; //边
            if (dist[s][e.v] > dist[s][u] + e.w) {
                return false;
            } //endif
        }     //end for
    }         //end for
    return true;
}

struct cmp {
    bool operator()(P &p1, P &p2) {
        return p1.first > p2.first;
    }
};

//O(nlogn + mlogn), m>n时，O(mlogn); 斐波那契堆 O(nlogn + m)
void dijkstra(int s) {
    dist[s][s] = 0;
    priority_queue<P, vector<P>, cmp> pq;
    pq.push(P(0, s));
    while (!pq.empty()) {
        P v_m = pq.top();
        pq.pop(); //共执行n次,logn
        int u = v_m.second;
        if (dist[s][u] < v_m.first) continue;           //d[u]小于上界,说明之前更新过了，重复放入的元素
        for (int i = 0; i < graph.adj[u].size(); ++i) { //共执行m次
            E e = graph.adj[u][i];
            if (dist[s][e.v] > dist[s][u] + e.w) {
                dist[s][e.v]   = dist[s][u] + e.w;
                parent[s][e.v] = u;
                pq.push(P(dist[s][e.v], e.v)); //logn
            }
        }
    }
}

//O(mnlogn+n*nlogn),m>n时，O(mnlogn); 对于斐波那契堆为O(mn + n*nlogn)
void johnson() {
    //create G' add S' s' = 0
    for (int i = 1; i <= graph.n; ++i) {
        graph.adj[0].push_back(E(i, 0)); //w = 0
    }
    if (!bellman_ford(0)) {
        cout << "the input graph contains a negative-weight cycle" << endl;
        return;
    }
    //d(u)= shortest path from S to u,w'(u,v)=w(u,v)+dist(u)-dist(v) >= 0
    for (int u = 1; u <= graph.n; ++u) {
        for (int v = 0; v < graph.adj[u].size(); ++v) {
            graph.adj[u][v].w = graph.adj[u][v].w + dist[0][u] - dist[0][v]; //update w'
        }
    }
    for (int u = 1; u <= graph.n; ++u) {
        dijkstra(u);
        for (int v = 1; v <= graph.n; ++v) {                   //更新所有从u出发到所有顶点的距离
            dist[u][v] = dist[u][v] - dist[0][u] + dist[0][v]; //d'(u,v)=d(u,v)+dist(u)-dist(v)
        }
    }
}

void createGraph() {
    int u, v, k, w;
    cin >> graph.n >> graph.m;

    for (k = 1; k <= graph.m; ++k) {
        cin >> u >> v >> w;
        graph.adj[u].push_back(E(v, w));
    }
}

void print_shortest_path(int s, int v) {
    if (v == s) {
        cout << s << " ";
        return;
    }
    if (parent[s][v] == 0) {
        cout << "no path from " << s << " to " << v << endl;
        return;
    }
    print_shortest_path(s, parent[s][v]);
    cout << v << " ";
}
void print_path() {
    for (int s = 1; s <= graph.n; ++s) {
        cout << "start point=" << s << ":" << endl;
        for (int v = 1; v <= graph.n; ++v) {
            print_shortest_path(s, v);
            cout << ",dist=" << dist[s][v] << endl;
        }
        cout << endl;
    }
}

int main() {
    createGraph();
    johnson();
    print_path();
}

正确性证明

为什么这样重新标注边权的方式是正确的呢？

在讨论这个问题之前，我们先讨论一个物理概念——势能。

诸如重力势能，电势能这样的势能都有一个特点，势能的变化量只和起点和终点的相对位置有关，而与起点到终点所走的路径无关。

势能还有一个特点，势能的绝对值往往取决于设置的零势能点，但无论将零势能点设置在哪里，两点间势能的差值是一定的。

接下来回到正题。

在重新标记后的图上，从 \(s\) 点到 \(t\) 点的一条路径 \(s \to p_1 \to p_2 \to \dots \to p_k \to t\) 的长度表达式如下：

\((w(s,p_1)+h_s-h_{p_1})+(w(p_1,p_2)+h_{p_1}-h_{p_2})+ \dots +(w(p_k,t)+h_{p_k}-h_t)\)

化简后得到：

\(w(s,p_1)+w(p_1,p_2)+ \dots +w(p_k,t)+h_s-h_t\)

无论我们从 \(s\) 到 \(t\) 走的是哪一条路径， \(h_s-h_t\) 的值是不变的，这正与势能的性质相吻合！

为了方便，下面我们就把 \(h_i\) 称为 \(i\) 点的势能。

上面的新图中 \(s \to t\) 的最短路的长度表达式由两部分组成，前面的边权和为原图中 \(s \to t\) 的最短路，后面则是两点间的势能差。因为两点间势能的差为定值，因此原图上 \(s \to t\) 的最短路与新图上 \(s \to t\) 的最短路相对应。

到这里我们的正确性证明已经解决了一半——我们证明了重新标注边权后图上的最短路径仍然是原来的最短路径。接下来我们需要证明新图中所有边的边权非负，因为在非负权图上，Dijkstra 算法能够保证得出正确的结果。

根据三角形不等式，图上任意一边 \((u,v)\) 上两点满足： \(h_v \leq h_u + w(u,v)\) 。这条边重新标记后的边权为 \(w'(u,v)=w(u,v)+h_u-h_v \geq 0\) 。这样我们证明了新图上的边权均非负。

这样，我们就证明了 Johnson 算法的正确性。

不同方法的比较

Floyd	Bellman-Ford	Dijkstra	Johnson
每对结点之间的最短路	单源最短路	单源最短路	每对结点之间的最短路
没有负环的图	任意图（可以判定负环是否存在）	非负权图	没有负环的图
\(O(N^3)\)	\(O(NM)\)	\(O(M\log M)\)	\(O(NM\log M)\)