递归练习：错排问题

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某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。
求所有的信都装错信封共有多少种不同情况?

分析：
这个涉及到组合数学里面的错排问题。先看下面的例题。
组合学中有这样一个问题：某人给五个朋友写信，邀请他们来家中聚会。请柬和信封交由助手去处理。
粗心的助手却把请柬全装错了信封。请问：助手会有多少种装错的可能呢？
这个问题是是由当时有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667—1748)的儿子
丹尼尔·伯努利(Danid Bernoulli，17OO一1782)提出来的。
瑞士著名数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：
D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.
例题：
    用A、B、C……表示写着ｎ位友人名字的信封，a、b、c……表示ｎ份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作D(n)。假设把ａ错装进Ｂ里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：
(1)b装入Ａ里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有D(n－2)种错装法。　　　　
(2)ｂ装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）n－1份信纸ｂ、ｃ……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有D(n－1)种。
总之在ａ装入B的错误之下，共有错装法D(n－2)＋D(n－1)种。
a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有D(n－1)＋D(n－2)种错装法，因此D(n)＝(n－1)[D(n－1)＋D(n－2)]
　　这是递推公式，令ｎ＝1、2、3、4、5逐个推算就能解答蒙摩的问题。
    D(1)＝0，D(2)＝1，D(3)＝2，D(4)＝9，D(5)＝44
答案是44种。


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 1 #include<stdio.h>
 2 int D(int n);
 3 int main()
 4 {
 5     int n;
 6     scanf("%d",&n);
 7     printf("%d",D(n));
 8     return 0;
 9 }
10 int D(int n)
11 {
12     if(n==1)
13     {
14         return 0;
15     }
16     else if(n==2)
17     {
18         return 1;
19     }
20     else 
21     {
22         return (n-1)*(D(n-2) + D(n-1));
23     }
24 }

View Code

 

其实，像类似菲波纳吉数列这种双线递归（可以画出类似二叉树这样的递归树），会有许多重复计算的地方。

比如，计算D(i)=D(i-1)+D(i-2),其实可能D（i-1）和D（i-2）在前面或者后面都还有要用到的地方。

所以，为了避免出现重复计算，可以考虑把每一个D(i)的值保存到数组当中，要计算时直接先查表，查不到再考虑递归计算。（这个就是所谓的记忆搜索了吧）

 当然，能不用递归的最好不用递归来做这种事情。