Definition

完全积性函数

单位函数 \(\varepsilon(n)=[n=1]\)
幂函数 \(Id_k(n)=n^k\)
特别地，有：

  • \(k=0\) 时，为常数函数 \(I(n)=1\)
  • \(k=1\) 时，为恒等函数 \(Id(n)=n\)

非完全积性函数的积性函数

除数函数 \(\sigma_k(n)=\sum\limits_{d|n}d^k\)
特别地，有：

  • \(k=0\) 时，为个数函数 \(\sigma(n)=\sum\limits_{d|n}d\)
  • \(k=1\) 时，为因数函数 \(d(n)=\sum\limits_{d|n}1\)

欧拉函数 \(\varphi(n)=n\prod\limits_{p|n}(1-\frac{1}{p}) \ \ \ (p\in prime)\)
莫比乌斯函数 \(\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\(-1)^k&n=p_1 \ p_2 \ p_3 \ ... \ p_k \ \ \ (p_i\in prime)\\0&otherwise\end{cases}\)

Formula
  • 若 \(f,g\) 皆为积性函数，则 \(f*g\) 也是积性函数.
  • \(f*g=g*f\)
  • \((f*g)*h=f*(g*h)\)
  • \(f*(g+h)=f*g+f*h\)
  • \(\text{Id}_k*I=\sigma_k\)
  • \(\varphi*I=Id \ \Leftrightarrow \ Id*\mu=\varphi\)
  • \(I*I=d\)
  • \(\mu*I=\varepsilon\) （即互为狄利克雷逆）
  • \(f=I*g \ \Leftrightarrow \ g=\mu*f\) （莫比乌斯反演定理）