文章目录
- 斯托克斯公式
- 定理
- 定理条件
- 右手规则
- 定理结论和公式👺
- 公式形式的选用
- 斯托克斯公式和格林公式的关系
- 例
- 例
- 例
- 分析
斯托克斯公式
- 斯托克斯(Stokes)公式是格林公式的推广
- 格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系
- 而斯托克斯公式把曲面上的曲面积分与沿曲面的边界曲线的曲线积分来联系起来
定理
定理条件
- 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧(侧向)符合右手规则
右手规则
- 当右手除拇指外的四指依着(指向)的绕行方向时,拇指所指的方向和上法向量的指向相同,这时称是有向曲面的正向边界曲线
定理结论和公式👺
- 若函数,,在曲面(连同边界)上具有一阶连续偏导数,则
- =
(1)
,将其等号左端记为(1-0)
- 公式(1)两端对调,得=
(1'
)
- 公式(1)左端(即公式(1’)的右端有规律可循
- 借助式的被积表达式:
(a)
- 先写出框架(有向曲面元三个分量前加括号)
- 第一个括号内是式(a)中的系数和的系数分别对求偏导做差.即
- 类似的填充后面2个括号
- 左后得
- 但是仍不如下面的形式好记
- 利用行列式记号(以及微分算子)把斯托克斯公式(1)的左端写成
(1-1)
或(1-2)
- 应用行列式降阶展开规则(Laplace展开),即得到式
(1-1)
得到公式(1)的形式;展开时要注意偏微分符号和函数的乘积理解为偏导,例如,将和的乘积理解为,其他组合类似 - 而公式(1-2)式利用
(2)
(两类曲面积分间的联系)
- =
- =
- =
- 代换式(1-1),即可得到式(1-2),向量=为有向曲面在处的单位法向量
- 公式(1)称为斯托克斯公式
- 式(1-0),(1-1)都是曲面积分中的第二类积分;而式(1-2)则是第一类曲面积分
公式形式的选用
- 而公式(1-2)在张成的是平面的情形使用比较合适,这时候计算比较简单,
- 给出具体平面(方程)时的单位法向量()是常数
- 否则不是平面,那么求法向量可能就复杂,则应该使用(1-0)或(1-1)
斯托克斯公式和格林公式的关系
- 若是面上的一块平面闭区域,斯托克斯公式就变成格林公式
- 因此格林公式是斯托克斯公式的一种特殊情形
例
- 利用斯托克斯公式计算
- 其中为平面被三个坐标面面所截成的三角形的整个边界
- 的正向与这个平面三角形上侧的法向量之间符合右手规则
- 按斯托克斯公式:
- ==
- 分项积分,得=++==
- 这里分别为在面上的投影区域
例
- 利用斯托克斯公式计算
- 其中是用平面截立方体的表面所得的截痕
- 若从轴的正向看去,取逆时针方向
- 分析
- 平面和三个坐标轴的交点坐标分别是,,
- 并且通过计算可知,原点到直线的距离都是=
- 而立方体在三个坐标面到的距离都是;
- 而==,而,显然后者更大,因此分别穿过立方体在坐标面上的2条棱,将这些交点连结,得到一个六边形(属于平面的一部分)
- 这些交点也可以求,例如求令两平面解平面,可以求出,即点就是其中一个交点
- 解
- 为了利用Stokes公式,我们要曲定一个有向面
- 这里取有向面为的上侧被所围成的部分区域
- 的一个法向量为单位化,得到一个单位法向量:=即=,按stokes公式
- ===
- 利用第一类曲面积分公式
- 而是上的一部分,将方程变形为,所以被积函数为==
- 且=
- 所以:===
- 或者分步计算===
- 其中为面上的投影区域,其面积==
- 将单独分析:容易确定,会落在面上以,的连线而成的正方形内部的一个坐标面内六边形
- 将6顶点分别求出:
- ,,,,,
- 分析其草图,可以用边长为1的正方形的面积减去两个相同的,直角边为的等腰直角小三角形的面积得到
- 所以==
例
(0)
- 其中是曲线
(0-1)
;(0-2)
的交线 - 从轴正向(往轴负向)看时,的方向是顺时针
分析
- 使用原始的曲线积分方法计算
- 需要得到空间有向曲线的参数方程形式(设其由两个曲面相交)
- 为了得到参数方程,通常是做的投影(到坐标面,例如面),先得到投影(记为)的方程
- 曲线的参数方程通常是容易直接得到
- 然后将得到的两个变量的参数方程代入到(其中的一个),得第三个变量的参数方程
- 对于参数方程而言,其三个变量的参数方程(设参数为)都是关于参数的式子,因此具有相对独立的特点,可以分批求参数方程
- 对于本例:曲线的投影方程为其参数方程为,
(1-1)
;(1-2)
- 再将两者代入,可得==
(1-3)
- 将所以(1-1,1-2,1-3)代入式(0),可以算得==
(2)
- 代入过程中以及化简有一定计算量,注意是逆时针圆周的情形,而才是本例的情形
- 掌握几个常用三角定积分特点可以加速某些计算过程,例如或或积分区间宽度为被积函数的正数倍时,积分为0,这里被积函数为时结果总是为0,因为两个函数都是周期为的函数,它们的定积分区间由恰好是周期的整数倍,验证可知,确实如此
- 使用Stokes公式计算
- 首先要选择一个张成的有向曲面,选取尽量简单的面
- 不妨取为在平面(即平面(0-2))的部分
- 在根据右手法则,结合的方向,可定出的方向朝下因此化为二重积分时,取符号
- 由stokes公式:=====
- 其中时的面积,而是半径为的圆域,面积为
- 综上,使用stokes公式要简单的多