克罗内克积 python 克罗内克积的秩

克罗内克积

文章目录

• 克罗内克积

• 定义
• 例子
• 特性

• 双线性结合律
• 混合乘积性质
• 克罗内克和
• 与抽象张量积
• 与图的乘积
• 转置

• 矩阵方程
• 历史
• 参考资料

数学上，克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算.克罗内克积是张量积的特殊形式，以德国数学家利奥波德·克罗内克命名.

定义

$A \otimes B$ 如果 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵, 而 $B$ 是一个 $p \times q$ 的矩阵, 克罗内克积则是一个 $m p \times n q$ 的分块矩阵
$A \otimes B=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} B & \cdots & a_{1 n} B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} B & \cdots & a_{m n} B \end{array}\right]$
更具体地可表示为 ${ }^{[1]}$
$A \otimes B=\left[\begin{array}{cccccccccc} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1 q} & \cdots & \cdots & a_{1 n} b_{11} & a_{1 n} b_{12} & \cdots & a_{1 n} b_{1 q} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2 q} & \cdots & \cdots & a_{1 n} b_{21} & a_{1 n} b_{22} & \cdots & a_{1 n} b_{2 q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11} b_{p 1} & a_{11} b_{p 2} & \cdots & a_{11} b_{p q} & \cdots & \cdots & a_{1 n} b_{p 1} & a_{1 n} b_{p 2} & \cdots & a_{1 n} b_{p q} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} b_{11} & a_{m 1} b_{12} & \cdots & a_{m 1} b_{1 q} & \cdots & \cdots & a_{m n} b_{11} & a_{m n} b_{12} & \cdots & a_{m n} b_{1 q} \\ a_{m 1} b_{21} & a_{m 1} b_{22} & \cdots & a_{m 1} b_{2 q} & \cdots & \cdots & a_{m n} b_{21} & a_{m n} b_{22} & \cdots & a_{m n} b_{2 q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} b_{p 1} & a_{m 1} b_{p 2} & \cdots & a_{m 1} b_{p q} & \cdots & \cdots & a_{m n} b_{p 1} & a_{m n} b_{p 2} & \cdots & a_{m n} b_{p q} \end{array}\right] .$

例子

$\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 1\end{array}\right] \otimes\left[\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 2 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}1 \cdot 0 & 1 \cdot 3 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 3 \\ 1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 3 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0 & 3 & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 9 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 2 & 1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{array}\right] \otimes\left[\begin{array}{lll}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llllll}a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & a_{11} b_{13} & a_{12} b_{11} & a_{12} b_{12} & a_{12} b_{13} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & a_{11} b_{23} & a_{12} b_{21} & a_{12} b_{22} & a_{12} b_{23} \\ a_{21} b_{11} & a_{21} b_{12} & a_{21} b_{13} & a_{22} b_{11} & a_{22} b_{12} & a_{22} b_{13} \\ a_{21} b_{21} & a_{21} b_{22} & a_{21} b_{23} & a_{22} b_{21} & a_{22} b_{22} & a_{22} b_{23} \\ a_{31} b_{11} & a_{31} b_{12} & a_{31} b_{13} & a_{32} b_{11} & a_{32} b_{12} & a_{32} b_{13} \\ a_{31} b_{21} & a_{31} b_{22} & a_{31} b_{23} & a_{32} b_{21} & a_{32} b_{22} & a_{32} b_{23}\end{array}\right]$

特性

双线性结合律

克罗内克积是张量积的特殊形式, 因此满足双线性与结合律:
$\begin{gathered} A \otimes(B+C)=A \otimes B+A \otimes C \quad \text { (if } B \text { and } C \text { have the same size) } \\ (A+B) \otimes C=A \otimes C+B \otimes C \quad \text { (if } A \text { and } B \text { have the same size) } \\ (k A) \otimes B=A \otimes(k B)=k(A \otimes B) \\ (A \otimes B) \otimes C=A \otimes(B \otimes C) \end{gathered}$
其中, $A, B$ 和 $C$ 是矩阵, 而 $k$ 是常量.
克罗内克积不符合交换律：通常, $A \otimes B$ 不同于 $B \otimes A$ .
$A \otimes B$ 和 $B \otimes A$ 是置换等价的, 也就是说, 存在置换矩阵 $P$ 和 $Q$, 使得
$A \otimes B=P(B \otimes A) Q$
如果 $A$ 和 $B$ 是方块矩阵, 则 $A \otimes B$ 和 $B \otimes A$ 甚至是置换相似的, 也就是说, 我们可以取 $P=Q$

混合乘积性质

如果A、B、C和 $D$ 是四个矩阵, 且矩阵乘积AC和 $B D$ 存在, 那么:
$(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D})=\mathbf{A} \mathbf{C} \otimes \mathbf{B D}$
这个性质称为“混合乘积性质”, 因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积.于是可以推出, $A \otimes B$ 是可逆的当且仅当 $\mathbf{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 是可逆的, 其逆矩阵为:
$(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})^{-1}=\mathbf{A}^{-1} \otimes \mathbf{B}^{-1}$

克罗内克和

如果A是 $n \times n$ 矩阵, B是 $m \times m$ 矩阵, $\mathbf{I}_{k}$ 表示 $k \times k$ 单位矩阵, 那么我们可以定义克罗内克和 $\oplus$ 为:
$\mathbf{A} \oplus \mathbf{B}=\mathbf{A} \otimes \mathbf{I}_{m}+\mathbf{I}_{n} \otimes \mathbf{B} .$

与抽象张量积

矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积.特别地, 如果向量空间 $V 、 W 、 X$ 和 $Y$ 分别具有基 $\left\{v_{1}, \ldots, v_{m}\right\} 、\left\{w_{1}, \ldots,\right.$, $\left.w_{n}\right\} 、\left\{x_{1}, \ldots, x_{d}\right\}$ 和 $\left\{y_{1}, \ldots, y_{e}\right\}$, 且矩阵 $A$ 和 $B$ 分别在恰当的基中表示线性变换 $S: V \rightarrow X$ 和 $T: W \rightarrow Y$, 那么矩阵 $A \otimes B$ 表示两个映射的张 量积 $S \otimes T: V \otimes W \rightarrow X \otimes Y$, 关于 $V \otimes W$ 的基 $\left\{v_{1} \otimes w_{1}, v_{1} \otimes w_{2}, \ldots, v_{2} \otimes w_{1}, \ldots, v_{m} \otimes w_{n}\right\}$ 和 $X \otimes Y$

与图的乘积

两个图的邻接矩阵的克罗内克积是它们的张量积图的邻接矩阵.两个图的邻接矩阵的克罗内克和, 则是它们的笛卡儿积图的邻接矩阵.

转置

克罗内克积转置运算符合分配律:
$(A \otimes B)^{T}=A^{T} \otimes B^{T}$

矩阵方程

克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法.例如, 考虑方程 $A X B=C$, 其中 $A 、 B$ 和 $C$ 是给定的矩阵, $X$ 是末知的 矩阵.我们可以把这个方程重写为 $\left(B^{\top} \otimes A\right) \operatorname{vec}(X)=\operatorname{vec}(A X B)=\operatorname{vec}(C)$.

这样, 从克罗内克积的性质可以推出, 方程 $A X B=C$ 具有唯一的解, 当且仅当 $A$ 和 $B$

在这里, $\operatorname{vec}(X)$ 表示矩阵 $X$ 的向量化, 它是把 $X$

如果把X的行堆起来, 形成列向量 $x$, 则AXB也可以写为 $\left(A \otimes B^{\top}\right) x \quad$ (Jain 1989, $2.8$

历史

尽管没有明显证据证明利奥波德·克罗内克是第一个定义并使用这一运算的人，克罗内克积还是以其名字命名.确实，在历史上，克罗内克积曾以Johann Georg Zehfuss名字命名为Zehfuss矩阵.

参考资料

1. Van Loan C F. The ubiquitous Kronecker product[J]. Journal of computational and applied mathematics, 2000, 123(1): 85-100.
2. Pages 401–402 of Dummit, David S.; Foote, Richard M., Abstract Algebra 2, New York: John Wiley and Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-36857-1
3. D. E. Knuth: “Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms”, zeroth printing (revision 2), to appear as part of D.E. Knuth: The Art of Computer Programming Vol. 4A

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本人水平有限,若有不妥之处, 恳请批评指正.
作者: 图灵的猫