题目大意
给定一个长度为N的环，在环上取任意个区间，使得这些区间的长度和为B。每个区间有一个权值，其等于该区间每个元素的权值之和减去该区间第一个元素的值。求如何取，使得所有区间的权值和最大，输出最大权值和。
Solution
环形动态规划的板子题，本题采用执行两次Dp的策略（第二种是在任意位置把环断成链，然后复制一倍接在末尾）
分类讨论
首先我们考虑一个简化的问题，把这个环从1和N中间断开，即假设所选区间没有同时包含1和N
这样，这个问题，就变成线性的了
我们设\(f_{i,j,0/1}\)表示当前考虑到第i个元素，已选区间的长度和为j，其中第i个元素是否被选（0——>不选，1——>选）的最大权值
那么状态转移方程：
初值：\(f_{1,0,0}=f_{1,1,1}=0\),其余为\(-inf\)
目标：\(max\{f_{N,B,1},f_{N,B,0}\}\)
那么通过上面的分析，我们已经把所选区间没有同时包含1和N的情况统计完成
到目前为止，我们解决的"线性问题"仅比原来的"环形问题"少了一种情况，即同时选取1号和N号元素，并获得1号元素的权值
如果在原“环形问题”的最优解中没有同时选取第1个和第N个元素，那么我们上面简化问题的答案即为所求。
为了补充这种缺少的情况，我们强制同时选取第1个和第N个元素再做一次Dp，方法为：
修改初值和目标
初值：\(f_{1,1,1}=a_i\),其余为\(-inf\)
目标：\(f_{N,B,1}\)
显然，两次dp的最大值即为原问题的答案
滚动数组
可以看出该问题的阶段为第i个元素，状态为已选区间的长度和j，和第i个元素是否被选
发现i只能由（i-1）转移过来，于是第一维可以滚动掉
当然你可以把第一维i用0,1表示，用i&1表示第i个阶段，用（i-1）&1表示第（i-1）个状态，相当于两个二维数组来回倒腾
这样做的好处是不用考虑第二维j的转移方向,减少编码复杂度
但你也可以直接把第一维省略，因为我们发现j只能由j或（j-1）转移过来，故我们可以类比01背包，让j从大到小循环，以确保j只能由j或（j-1）转移（或者说确保元素i不会被重复选取）
不仅如此，我们在转移时，还要先转移\(f_{i,j,0}\)再转移\(f_{i,j,1}\)，原因是\(f_{i,j,0}\)需要用到\(f_{i-1,j,1}\)这个状态，而\(f_{i-1,j,1}\)与\(f_{i-1,j,1}\)的后两个维度上的状态是相同的
细节
- 关于初值，之所以其余状态要赋成\(-inf\)而不是\(0\)，个人认为是为了方便转移（或者说方便编码）。因为如果初值赋为0，有一些非法状态，如\(f_{2,3,0},f_{3,3,0}\)，便可能转移到答案中去，因此还要在循环中加一系列限制条件，增大编码和调试复杂度
反之，若为\(-inf\)，则一定不会转移到答案中，使得代码更容易编写 - 在题解中，发现有人在第二个dp中，把\(f_{1,0,0}\)赋成0，却依然能过，原因是（多谢机房gzh大佬的耐心讲解），若最优解需要选取1和N，那么第二次dp的最优解一定能从\(f_{1,1,1}=a_i\)转移。反之，若其不是最优解，第二次dp的答案会从\(f_{1,0,0}\)转移，其一定小于等于第一次dp的值，也不影响答案统计
3.滚动数组要注意循环和更新的顺序
总结
通过这道题，不仅了解了处理环形Dp的一种策略执行两次Dp，对滚动数组和初始赋值的理解也更加深入
Code1三维滚动数组
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
register int x=0,w=1;
register char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
if(ch=='-') {ch=getchar();w=-1;}
while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar(); }
return x*w;
}
const int M=1e6+10;
int ans;
int n,t,u[4000],b,f[2][4000][2];
int main()
{
n=read();
b=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
u[i]=read();
memset(f,0xcf,sizeof(f));
f[1][0][0]=f[1][1][1]=0;
f[0][0][0]=0;
for(int i=2;i<=n;++i)
{
for(int j=1;j<=b;++j)
f[i&1][j][1]=max(f[(i-1)&1][j-1][0],f[(i-1)&1][j-1][1]+u[i]),
f[i&1][j][0]=max(f[(i-1)&1][j][0],f[(i-1)&1][j][1]);
}
ans=max(f[n&1][b][0],f[n&1][b][1]);
// cout<<ans<<endl;
memset(f,0xcf,sizeof f);
f[1][1][1]=u[1];
f[1][0][0]=0;
for(int i=2;i<=n;++i)
{
for(int j=1;j<=b;++j)
f[i&1][j][1]=max(f[(i-1)&1][j-1][0],f[(i-1)&1][j-1][1]+u[i]),
f[i&1][j][0]=max(f[(i-1)&1][j][0],f[(i-1)&1][j][1]);
f[1][0][0]=f[0][0][0]=0;
}
ans=max(ans,f[n&1][b][1]);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
Code2 二维滚动数组
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
register int x=0,w=1;
register char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
if(ch=='-') {ch=getchar();w=-1;}
while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar(); }
return x*w;
}
const int M=1e6+10;
int ans;
int n,t,u[4000],b,f[4000][2];
int main()
{
n=read();
b=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
u[i]=read();
memset(f,0xcf,sizeof(f));//必须要初始化为最小值，原因见下
f[0][0]=f[1][1]=0;
f[0][1]=-0x7fffffff;
// f[0][1]=-0x7fffffff;
for(int i=2;i<=n;++i)
{
for(int j=min(b,i);j;--j)
f[j][0]=max(f[j][0],f[j][1]),
f[j][1]=max(f[j-1][0],f[j-1][1]+u[i]);
}
ans=max(f[b][0],f[b][1]);
// cout<<ans<<endl;
memset(f,0xcf,sizeof f);
f[1][1]=u[1];
f[0][0]=0;
for(int i=2;i<=n;++i)
{
for(int j=min(b,i);j;--j)
f[j][0]=max(f[j][0],f[j][1]),
f[j][1]=max(f[j-1][0],f[j-1][1]+u[i]);
// f[1][0][0]=f[0][0][0]=0;
}
ans=max(ans,f[b][1]);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
