定义：从 \(n\) 个物品中选出 \(m\) 个的方案数，记作 \(C_{n}^{m}\) ，也记作 \(\tbinom{n}{m}\) 。

组合：对于顺序没有要求

排列：对于顺序有要求

\(C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}=\frac{n!}{(n-m)!m!}\)

递推公式

\(C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}\)

意义：从 \(n\) 个不同的数中取 \(m\) 个，第 \(m\) 个数不取有 \(C_{n-1}^{m}\) ，取有 \(C_{n-1}^{m-1}\) 种。

\(C_{n}^{m} \equiv C_{n~mod~p}^{m~mod~p}\cdot C_{\lfloor n/p \rfloor}^{\lfloor m/p \rfloor}~~~~(mod~p)\) \(Lucas\) 定理

性质

\(1.~~~C_{n}^{m} = C_{n}^{n-m}\)

证：取 \(m\) 个和选 \(m\) 个不取是等价的


\(2.~~~C_{n}^{m} \cdot C_{m}^{r}~=~C_{n}^{r} \cdot C_{n-r}^{m-r}\)

证：相当于是调换选择的顺序，最后的结果都是选出 \(m\) 个再中的 \(r\) 个元素，并记录该 \(m\) 个元素（可以感性理解一下）。等式左边是先选 \(m\) 个再选 \(r\) 个，而等式右边则是选出 \(r\) 个再在剩下的元素中选出 \(m-r\) 个以达到 \(“\) 记录 \(m\) 个元素 \(”\) 的目的。


\(3.~~~m*C_{n}^{m}=n*C_{n-1}^{m-1}\)

证：\(m*C_{n}^{m}=C_{n}^{m}\cdot C_{m}^{1}=C_{n}^{1} \cdot C_{n-1}^{m-1}=n*C_{n-1}^{m-1}\)


\(4.~~~\sum_{i=1}^{n} i*C_{n}^{i} = n*2^{n-1}\)

证：\(\sum_{i=1}^{n} i*C_{n}^{i}=\sum_{i=1}^{n} n*C_{n-1}^{i-1} = n*\sum_{i=0}^{n-1} C_{n-1}^{i} = n*2^{n-1}\)


\(5.~~~\sum_{i=1}^{n} i^2*C_{n}^{i} = n*(n+1)*2^{n-2}\)$

证：\(\sum_{i=1}^{n} i^2*C_{n}^{i}\\= n*\sum_{i=0}^{n-1} (i+1)C_{n-1}^{i} \\= n*2^{n-1}+\sum_{i=0}^{n-1} i*C_{n-1}^{i}\\=n*2*2^{n-2}+n*(n-1)*2^{n-2}\\=n*(n+1)*2^{n-2}\)


\(6.~~~\sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i}=2^n\) \(二项式定理\)

证：\(C_{n}^{i}代表一个~n~位二进制数有~i~个~0~的情况下的数量，那么这个和就是~n~位二进制数的数量了\)。

​ \(\sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i} x^i= (x+1)^n\) \(二项式定理推广\)

证：杨辉三角


\(7.~~~C_{n+m+1}^{m}=\sum_{i=0}^{m} C_{n+i}^{i}\)

证：

利用\(C_{n}^{0}=1=C_{n+1}^{0}\)

\(\sum_{i=0}^{m} C_{n+i}^{i}\\ =C_{n}^{0}+C_{n+1}^{1}+C_{n+2}^{2}+\cdots+C_{n+r}^{r}\\=C_{n}^{1}+C_{n+1}^{1}+C_{n+2}^{2}+\cdots+C_{n+r}^{r}\)

利用 \(C_{n}^{m}+C_{n+1}^{m}=C_{n+1}^{m+1}\)从小到大一次合并最终得出 \(C_{r}^{n+r+1}\) 。


\(8.~~~\sum_{i=0}^{n} (-1)^iC_{n}^{i}=[n=0]\)

证：

\(n=0\) 时答案为 \(1\) .

证：

拆开成

\(\left\{ \begin{matrix} C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-\cdots-C_{n}^{n}=0~~~~(n\%2=1)\\ C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-\cdots+C_{n}^{n}=0~~~~(n\%2=0) \end{matrix} \right.\)

\((n\%2=1)\) 根据 \(C_{n}^{m}-C_{n}^{n-m}=0\) 两两分类即可

\((n\%2=0)\) 根据 \(C_{n}^{m}=C_{n}^{m-1}+C_{n-1}^{m-1},C_{n}^{0}=C_{n-1}^{0},C_{n}^{n}=C_{n-1}^{n-1}\) 对于原式进行裂项为

\(C_{n-1}^{0}-(C_{n-1}^{0}+C_{n-1}^{1})+(C_{n-1}^{1}+C_{n-1}^{2})-(C_{n-1}^{2}+C_{n-1}^{3})+\cdots +C_{n-1}^{n-1}=0\)


\(9.~~~\sum_{i=0}^{n}[2\mid i]C_{n}^{i}=\sum_{j=0}^{n}[2\nmid j]C_{n}^{i}=2^{n-1}\)

根据 \(\sum_{i=0}^{n}[2\mid i]C_{n}^{i}+\sum_{i=0}^{n}[2\nmid i]C_{n}^{i}=\sum_{i=0}^{n} (-1)^iC_{n}^{i}=0\)

移项可知 \(\sum_{i=0}^{n}[2\mid i]C_{n}^{i}=\sum_{j=0}^{n}[2\nmid j]C_{n}^{i}\)

则 \(C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+\cdots=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}\cdots=\dfrac{\sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i}}{2}=\dfrac{2^n}{2}=2^{n-1}\)


\(10.~~~C_{n+m}^{r}=\sum_{i=0}^{r} C_{n}^{i} \cdot C_{m}^{r-i}\)

证：根据定义，有 \(n+m\) 个物品，在前 \(n\) 个物品中取出 \(i\) 个，在后 \(m\) 个物品中取出 \(r-i\) 个相乘求和即可。

变形：\(C_{n+m}^{r}=\sum_{i=0}^{r} C_{n}^{i} \cdot C_{m}^{r-i}=\sum_{i=0}^{r} C_{n}^{i} \cdot C_{m}^{m-r+i}\)

当 \(r=m\) 时 \(C_{n+m}^{m}=\sum_{i=0}^{m} C_{n}^{i}\cdot C_{m}^{i}\)

变形\(2\) ： \(C_{n+m}^{m}=\sum_{i=0}^{m} C_{n}^{i}\cdot C_{m}^{i}\)

当 \(m=n\) 时 \(C_{2n}^{n} = \sum_{i=0}^{n} (C_{n}^{i})^2\)