Des
晚上，小卡从阳台望出去，“哇~~~~好多星星啊”，但他还没给其他房间设一个窗户。
天真的小卡总是希望能够在晚上能看到最多最亮的星星，但是窗子的大小是固定的，边也必须和地面平行。
这时小卡使用了超能力（透视术）知道了墙后面每个星星的位置和亮度，但是小卡发动超能力后就很疲劳，只好拜托你告诉他最多能够有总和多亮的星星能出现在窗口上。
\(\texttt{Data Range:}\)
\(1\le T \le 10\)
\(1\le n \le 10^4\)
\(1\le W,H \le 10^6\)
\(0\le x_i,y_i < 2^{31}\)
Sol
考虑把「星星在窗子所在的矩形中」转化为「窗子的右上角在星星上面 H，右边 W 的矩形中」。这样就可以把整个问题转化为找一个点使得覆盖该点的矩形最多。
（如图，矩形框住了两个星星）
现在考虑窗户边框的限制。
如图，虽然窗户的右上角不能落在黑框上，只能落在黑框里，但将黑框的长和宽的两端都减小一个 eps（极小值）得到红框后，窗户的右上角就可以落在红框里的任何一个地方了。
但是如果减小 eps，星星所对应的矩形的坐标就变成了实数。
这时出现了一种方法，将矩形的长宽在两端都减小 0.5，然后把坐标轴向上平移、向右平移 0.5 个单位。最后生成的矩形左下角是 \((x,y)\)，右上角是 \(x+W-1,y+H-1\)。
这样做为什么是正确的呢？长宽减小的数值需要保证原本有交的矩形仍然有交。由于星星的坐标是整数，所以极限情况（可能会在矩形缩小后没有交的情况）如下图：
在减小 0.5 之后仍然有交（只不过在对 line 进行排序的时候需要把 l 为正的排在前面）。而两端减小 0.5，合起来就是 1，这导致生成的矩形在平移坐标轴之后的坐标可以是整数。
所以这其实是一个很巧妙的方法，很多题解没说清楚。
My code
和模板不一样，这道题线段树上的点映射到的就是平面上的点。
const int N = 2e4 + 10;
int T, n, W, H, stc, ans, v[N];
struct node {
int x, ya, yb, k;
bool operator<(const node &b) { return x < b.x || (x == b.x && k > b.k); }
} a[N];
struct segmentTree {
#define lc(x) (x << 1)
#define rc(x) (x << 1 | 1)
int mx[N << 2], tag[N << 2];
void pdown(int p) {
if(tag[p]) {
mx[lc(p)] += tag[p], mx[rc(p)] += tag[p];
tag[lc(p)] += tag[p], tag[rc(p)] += tag[p];
tag[p] = 0;
}
}
void modify(int l, int r, int p, int x, int y, int k) {
if(l >= x && r <= y) {
mx[p] += k, tag[p] += k;
return;
}
pdown(p);
int mid = (l + r) >> 1;
if(x <= mid) modify(l, mid, lc(p), x, y, k);
if(y > mid) modify(mid + 1, r, rc(p), x, y, k);
mx[p] = max(mx[lc(p)], mx[rc(p)]);
}
#undef lc
#undef rc
} st;
inline int find(int x) {
return lower_bound(v + 1, v + stc + 1, x) - v;
}
void clear() {
stc = 0, ans = 0;
memset(st.mx, 0, sizeof st.mx);
memset(st.tag, 0, sizeof st.tag);
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr);
for(cin >> T; T; T--) {
cin >> n >> W >> H;
clear();
for(int i = 1, x, y, l; i <= n; i++) {
cin >> x >> y >> l;
a[2 * i - 1] = node{x, y, y + H - 1, l};
a[2 * i] = node{x + W - 1, y, y + H - 1, -l};
v[++stc] = y, v[++stc] = y + H - 1;
}
sort(a + 1, a + 2 * n + 1);
sort(v + 1, v + stc + 1);
stc = unique(v + 1, v + stc + 1) - v - 1;
for(int i = 1; i <= n * 2; i++) {
ans = max(ans, st.mx[1]);
st.modify(1, stc, 1, find(a[i].ya), find(a[i].yb), a[i].k);
}
cout << ans << '\n';
}
return 0;
}
