题目

题目链接：​​https://www.luogu.com.cn/problem/P3934​​

给一个长为 \(n\) 的序列，\(m\) 次操作，每次操作：

  1. 区间 \([l,r]\) 加 \(x\)。
  2. 对于区间 \([l,r]\)，查询：\(a[l]^{a[l+1]^{a[l+2]^{\dots ^{a[r]}}}} \mod p\)。

\(n,m\leq 5\times 10^5\)，\(p\leq 2\times 10^7\)。

思路

扩展欧拉定理：


\[a^b\equiv \left\{\begin{align*}a^b\space (b<\varphi(p))\\ a^{b\text{ mod }\varphi(p) +\varphi(p)}\space(b\geq\varphi(p)) \end{align*}\right.\pmod p\]


设 \(g(l,r)=a[l]^{a[l+1]^{a[l+2]^{\dots ^{a[r]}}}}\space\space\space\)，\(f(l,r,p)=g(l,r)\bmod p\)。

那么有


\[f(l,r,p)=a[l]^{f(l+1,r,\varphi(p))+[g(l+1,r)\geq \varphi(p)]\times \varphi(p)}\bmod p\]


而因为 \(\varphi(\varphi(p))\)这样一直递归下去，\(O(\log p)\) 次后就会变成 \(1\)，而当模数 \(p=1\) 时，显然答案为 \(0\)。所以说我们计算 \(f\) 只会递归 \(O(\log p)\) 层。

那么显然只需要支持区间加单点查询，树状数组即可。

为了降低代码复杂度，可以建一个类，第一维表示值，第二维表示是否超过当前的模数。然后重载一下 ​​*​​ 运算符。

注意指数要讨论是否需要 \(+\varphi(p)\) 这些细节。

时间复杂度 \(O(m\log p\log n)\)。

代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=500010,M=20000010;
int n,m,Q,prm[M],phi[M];
bool v[M];

int read()
{
  int d=0; char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
  while (isdigit(ch)) d=(d<<3)+(d<<1)+ch-48,ch=getchar();
  return d;
}

void findprm(int n)
{
  for (int i=2;i<=n;i++)
  {
    if (!v[i]) prm[++m]=i,phi[i]=i-1;
    for (int j=1;j<=m;j++)
    {
      if (i>n/prm[j]) break;
      v[i*prm[j]]=1; phi[i*prm[j]]=phi[i]*(prm[j]-1);
      if (!(i%prm[j])) { phi[i*prm[j]]=phi[i]*prm[j]; break; }
    }
  }
}

struct node
{
  ll a,b;
  
  friend node mul(node x,node y,ll p)
  {
    return (node){x.a*y.a%p,max((ll)(x.a*y.a>=p),max(x.b,y.b))};
  }
};

node fpow(node x,ll k,ll mod)
{
  node ans=(node){1,0};
  if (x.a>=mod) x.a%=mod,ans.b=1;
  for (;k;k>>=1,x=mul(x,x,mod))
    if (k&1) ans=mul(ans,x,mod);
  return ans;
}

struct BIT
{
  ll c[N];
  
  void add(int x,int v)
  {
    for (int i=x;i<=n;i+=i&-i)
      c[i]+=v;
  }
  
  ll query(int x)
  {
    ll ans=0;
    for (int i=x;i;i-=i&-i)
      ans+=c[i];
    return ans;
  }
}bit;

node query(int l,int r,ll p)
{
  ll x=bit.query(l);
  if (p==1) return (node){0,1};
  if (l==r) return (node){x%p,(ll)(x>=p)};
  node res=query(l+1,r,phi[p]);
  return fpow((node){x,0},res.a+res.b*phi[p],p);
}

int main()
{
  findprm(M-1);
  n=read(); Q=read();
  for (int i=1;i<=n;i++) 
  {
    int x=read();
    bit.add(i,x); bit.add(i+1,-x);
  }
  while (Q--)
  {
    int opt=read(),l=read(),r=read(),p=read();
    if (opt==1)
      bit.add(l,p),bit.add(r+1,-p);
    else
      cout<<query(l,r,p).a<<"\n";
  }
  return 0;
}