[BZOJ2339][HNOI2011]卡农

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试题描述

输入

见“试题描述”

输出

见“试题描述”

输入示例

见“试题描述”

输出示例

见“试题描述”

数据规模及约定

见“试题描述”

题解

先考虑 m 个 01 串排顺序的情况。可以发现如果定下前 m - 1 个 01 串，那么第 m 个串就可以由前面所有 01 串按位异或得出，所以方案数为 A(2ⁿ - 1, m - 1)（即除全 0 串外的所有情况选择 m - 1 个并排列顺序的方案数），现在我们需要减去不合法的情况。我们令 f(m) 表示前 m 个串考虑顺序合法的方案数。

不合法#1：所有 m - 1 个 01 串的异或和为全 0 串，即最后一个填的是全 0 串，那么要减去 f(m - 1)。

不合法#2：最后一个填的串与前 m - 1 个串有重复，那么如果去掉这两个相同的串，剩下的串能组成合法的情况（即 f(m - 2)），然后这个串可能与前 m - 1 个串中任意一个串重复，所以要乘上 m - 1，最后这个重复的串本身有 2ⁿ - 1 - (m - 2) 种情况。所以最终需要减去 f(m - 2) * (m - 1) * [2ⁿ - 1 - (m - 2)]。

最后再把答案除以 m! 就好了，求一下逆元。

注意不可以用组合数的方法避免排顺序，因为如果这样做了，在“不合法#2”这一步中我们就不能保证对于那 m - 1 个重复的位置每一个都是完整的 f(m - 2) 中情况，可以想象一下如果用组合数，那么方案中的 01 串就按照一固定顺序排好了，那么对于一个特定的串它的位置就没有任意性了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;

int read() {
    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
    while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
    return x * f;
}

#define maxn 1000010
#define MOD 100000007
#define LL long long
int f[maxn], A[maxn];

void gcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y) {
	if(!b){ x = 1; y = 0; return ; }
	gcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x;
	return ;
}
LL Inv(LL a) {
	LL x, y;
	gcd(a, MOD, x, y);
	x = (x % MOD + MOD) % MOD;
	return (x % MOD + MOD) % MOD;
}

int main() {
	int n = read(), m = read();
	
	int sum2 = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		sum2 <<= 1;
		if(sum2 >= MOD) sum2 -= MOD;
	}
	A[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= m; i++) A[i] = (LL)A[i-1] * ((sum2 - i + MOD) % MOD) % MOD;
	f[1] = f[2] = 0; int tmp = 2;
	for(int i = 3; i <= m; i++) {
		f[i] = A[i-1] - ((LL)f[i-2] * (i - 1) % MOD) * ((sum2 - i + 1 + MOD) % MOD) % MOD;
		if(f[i] < 0) f[i] += MOD;
		f[i] -= f[i-1];
		if(f[i] < 0) f[i] += MOD;
		tmp = (LL)tmp * i % MOD;
	}
	printf("%d\n", (LL)f[m] * Inv(tmp) % MOD);
	
	return 0;
}

BTW，这题不能用 fread 优化读入。。。