这是一篇对可以用图的 DFS 树来解的题的教程/扩展。
在很长一段时间，我并没有真正理解传统算法是如何找到桥的。很多题解看起来没有真正解释它是如何工作的，很多只是顺带提到它但后迅速地进入实现部分。某一天有人解释了 DFS 树是什么， 我才终于正确地理解了它。在此之前，我花了很长时间去理解寻找桥的算法，而且我经常要注意一些细节。现在我已经可以用打字的速度去实现它了。
但是更重要的是，我开始明白同样的算法该如何用在与桥或多或少无关的题目上。这件事，就像当你有一个黑盒时，你只可以把它当作一个黑盒去使用。但如果你有一个你十分了解的盒子，你可以把它分解，略加改动并把啊用在完全不同的事情上，并且毫无疏漏。
就我而言，DFS 树是我所知的解决图的结构问题最好的算法之一。此外，有时在你使用 DFS 树后，一些可疑的贪心算法的正确性也会变得显而易见。
考虑一个无向连通图 G，对它进行深度优先遍历。它可以用一个递归函数来实现，就像这样：
function visit(u):
mark u as visited
for each vertex v among the neighbours of u:
if v is not visited:
mark the edge uv
call visit(v)
以下是实现过程的动画：
我们看一下在第 \(5\) 行被标记的边。他们构成 G 的以 \(1\) 为根的生成树。我们称这些边为树边， 其他的所有边为回边。
这就是我们图的 DFS 树：
结论：在生成树种，图的回边连接的都是一个顶点和它的子孙节点。这就是 DFS 树好用的原因。
证明：假设有一条边 \(u\rightarrow v\)，深度优先遍历已经访问了 \(u\) 但还没访问到 \(v\)。然后
- 如果深度优先遍历沿着 \(u\rightarrow v\) 边由 \(u\) 走向 \(v\)，那么 \(u\rightarrow v\) 是一条树边。
- 如果深度优先遍历没有沿着 \(u\rightarrow v\) 从 \(u\) 访问 \(v\)，然而此时遍历到第四步发现 \(v\) 已经被访问过了。说明 \(v\) 是在遍历 \(u\) 的一个邻居节点时对它进行了访问，这意味着 \(v\) 是 \(u\) 在 DFS 树中的一个子孙节点。
例如在上面的图中，节点 \(4\) 和节点 \(8\) 不可能由一条回边相连因为它们各自都不是另一个的祖先节点，如果由一条边连接 \(4\) 和 \(8\)，遍历会从 \(4\) 走向 \(8\) 而不是返回 \(2\)。
这是 DFS 树最显而易见的结论。DFS 树如此有用因为它简化了图的结构。与其去考虑图中所有种类的边， 我们此时只需要考虑一棵树和一些额外的祖先-子孙连边。这样的结构十分适于思考和尝试算法。
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