【算法编程】树的重心——DFS
原创
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【算法编程】树的重心——DFS
题目：
给定一颗树，树中包含n个结点（编号1~n）和n-1条无向边。
请你找到树的重心，并输出将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。
重心定义：重心是指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个节点被称为树的重心。
输入格式
第一行包含整数n，表示树的结点数。
接下来n-1行，每行包含两个整数a和b，表示点a和点b之间存在一条边。
输出格式
输出一个整数m，表示将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。
数据范围
输入样例
9
1 2
1 7
1 4
2 8
2 5
4 3
3 9
4 6
输出样例：
思路：
本题最直观的想法就是遍历每一个结点，然后将该结点删除后，剩余的几个连通图的分别求其结点个数，并取最大，作为该结点的结果，最终取最小的结果作为答案。如下图，假设删除结点4，则可以得到3个连通图，我们发现最大的连通图是由1、2、8、5、7组成的，因此删除结点4后最大连通图结点数为4。
但我们会发现，由于是树形结构，因此每个结点都可以递归地获得其所有孩子结点所在子树连通图的结点个数，而剩余的结点就是整棵树除了该结点所在子树外的连通图。如上图，结点4的两个孩子结点3和6所在的连通图结点数分别是2和1，则剩下的结点数为：
因此，选择深度优先遍历实现对每个结点进行计数。
实现：
1、使用数组来模拟邻接表
不选择邻接矩阵的原因是，本题的数据规模是 
，邻接矩阵空间则为 
，显然会内存溢出。由于边的个数为 
，因此选择邻接表。
例如下图：
- 所有结点存储在
- 每个
内表示一个单链表，也使用数组来模拟，定义数组 e[idx] 保存插入单链表的第 idx 个结点的编号，ne[idx] 表示第idx个结点的下一个结点，idx表示插入单链表的结点编号（不是题目中输入的结点编号，而是插入到单链表中的编号，idx从0开始计数）
2、DFS
深度优先遍历，从任意一个结点开始遍历，并返回其所有子树的结点个数的最大值，以及所有子树的结点个数和即可。
本题需要注意的是，每次DFS时，不进行恢复现场，因为我们只要遍历到一个结点时，即可得到该结点所有子树的结点个数，因此下一次不能再遍历它。而恢复现场只适用于遍历所有的可能的路径。
代码实现：
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5, M = 2 * N;
// 如果用邻接矩阵，则需要开辟1e^10空间，显然不可以
// 所以使用模拟邻接表存储图
// 分别表示结点数组，插入到邻接表的第idx个结点，第idx个结点的下一个结点，以及结点编号idx
int h[N], e[M], ne[M], idx = 0;
int vis[N]; // 判断当前结点是否已经被访问过
int ans = N; // 最终结果
int n, a, b;
// 插入一个边，a结点与结点b相连
void add(int a, int b) {
e[idx] = b; // 将结点b存入e中
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx ++;
}
// DFS搜索每一个结点，并返回其所在子树的所有结点个数
int dfs(int x) {
vis[x] = 1;
int res = 0, sum = 0;
// 寻找该结点所有相邻的结点
for(int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]) {
if(vis[e[i]] == 0) {
int t = dfs(e[i]);
res = max(res, t); // 当前结点x的所有孩子结点对应的子树吗，取结点数最大的个数
sum += t;
}
}
res = max(res, n - sum - 1); // n-res-1表示根结点所有子树（除了x及其子树外）的结点数，最终取最大的结点数
ans = min(res, ans); // 结果是要取最小的值
return sum + 1;
}
int main() {
scanf("%d", &n);
memset(h, -1, sizeof h);
for(int i = 0; i < n - 1; i ++) scanf("%d%d", &a, &b), add(a, b), add(b, a);
dfs(1);
printf("%d", ans);
return 0;
}
