质数筛

本文将介绍两周质数筛算法，分别是埃拉托斯特尼筛法（简称埃氏筛）与欧拉筛。

埃氏筛

基本思想:任意整数x的倍数2x，3x ···都不是质数，可以除去

算法基本流程:从2开始，从小到大扫描每个数字x，将它的倍数2x，3x ···，\(\lfloor N/x \rfloor *x\)如果没标记的就打上合数标记

，当扫描到x时，若x未被标记，则说明x不能被2~x-1的数整除，所以x是质数。

引用 的一张图片

另外，我们可以发现，有些数字会被重复标记，比如6会被2和3标记。浪费了时间。

实际上，小于\(x^2\)的x的倍数在扫描到x之前就已经被标记了。因此，我们可以加个小优化，让x的倍数从\(x^2\)开始枚举。（虽然是小优化，但是在洛谷却是100pts和40pts的差距)

inline void Eratosthenes1(int n) {
  for(int i = 2; i<= n; i++) {
    if(vis[i]) continue;
      prime[++cnt] = i ;
      for(int j = i;1ll* i * j <=1ll* n; j++)
        vis[i * j] = true;
  }
}

时间复杂度$$O（\sum_{质数p \le N} \frac{N}{p} ) =O(N \ loglog \ N)$$

证明见​​https://zhuanlan.zhihu.com/p/272483362​​(太弱了，不会证明，以后一定补上):

欧拉筛（线性筛)

即使埃氏筛优化了，也还是会重复标记一些数字，比如12被2，3重复标记了，原因在于我们没有确定12的唯一产生方式。

根据算术基本定理，每个大于1的自然数都有唯一的有限个素数乘积表示,所以我们在生成一个需要被标记的合数时，只要在现有的数乘上一个质因子，并且让这个质因子是这个合数的最小质因子。采用该法，每个合数只会被它的最小质因数筛一次。

inline void EulerSieve(int n) {
  for(int i(2); i <= n; ++i) {
      if(!v[i])//v[i]记录i的最小质因子 
      {
        v[i]=i;//如果i是质数，那么它只有两个因子，1和它本身，所以它的最小质因子为i 
        prime[++cnt]=i;
    }
      for(int j=1;j<=cnt;++j){
        if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i) break;
      //i有比prime[j]更小的质因子或者i乘prime[j]会超出范围了 
     v[prime[j]*i]=prime[j]; 
    }
  }
}