POJ 1061 青蛙的约会 扩展欧几里得http://poj.org/problem?id=1061

来源：http://poj.org/problem?id=1061

题意：中文题。。。

思路：由题意易知，posx + vx * t – posy – vy * t = k * L，也就是说解该方程的解。该方程经过化简后可以写为 t*(vx - vy) – k * L = posy – posx，进一步化简为 k*L + t * (vy- vx) = posx – posy,L和(vx - vy)都可以求出来，也就是说是已知的。该方程是我们比较熟悉的，也就是常见的扩展欧几里得方程的形式。

         此时，令 gcdx = gcd(L,vy - vx)，若(posx – posy) % gcdx == 0,则该方程有解，也就是说青蛙可以碰见，否则是碰不到的。

         接下来运用扩展欧几里得就可以了，至于扩展欧几里得的知识，网上有很多，这里就不多说了。当我们用扩展欧几里得求出ax + by = 1的一组解后，我们需要求最小的正整数解。对题目来说，就是t必须为正整数，若求出的特解为负数，这时我们需要处理一下。

        ax + by = pos 此时又一组解，其中y是负数。我们的目的是使得y变为满足方程的最小正数。现在我们把方程改变一下。ax – kab + by + kab = pos,方程实质是没有改变的,我们在化简一下，变成a(x- kb) + b (y + ka) = pos，使y变正，只需要加若干个a即可，具体数目可以算出来。

代码：

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
using namespace std;

#define CLR(arr,val) memset(arr,val,sizeof(arr))
typedef long long ll;
ll xx,yy;
ll gcd(ll a,ll b){
  if(b == 0)
	  return a;
  return gcd(b,a%b);
}
void extend_Eulid(ll a,ll b){
	if(b == 0){
	  xx = 1;
	  yy = 0;
	  return;
	}
	else{
	  extend_Eulid(b,a%b);
	  int temp = xx;
	  xx = yy;
	  yy = temp - a/b * yy;
	}
}
int main(){
	//freopen("1.txt","r",stdin);
	//freopen("3.txt","w",stdout);
	ll posx,posy,vx,vy,L;
	while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&posx,&posy,&vx,&vy,&L) != EOF){
		ll dvx = vy - vx;
		ll dpos = posx - posy;
	    ll gcdx = gcd(L,dvx);
	  if(dpos % gcdx){
	    printf("Impossible\n");
	  }
	  else{
		dvx = dvx / gcdx;
		dpos = dpos / gcdx;
		L /= gcdx;
		extend_Eulid(L,dvx);
		yy *= dpos;
		xx *= dpos;
		if(L < 0) L = -L;
		if(yy > 0 && xx > 0) yy %= L;
		else{
			ll cnt = yy/L;
			cnt = -cnt;
			cnt++;
		  yy = (yy + L * cnt)%L;
		}
		printf("%lld\n",yy);
	  }
	}
	return 0;
}