数据结构与算法——并查集(不相交集合)

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认识并查集

对于​​并查集(不相交集合)​​​，很多人会感到很​​陌生​​，没听过或者不是特别了解。实际上并查集是一种挺高效的数据结构。实现简单，只是所有元素统​​一遵从一个规律​​所以让办事情的效率高效起来。

对于定意义，百科上这么定义的：

并查集，在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。

并查集是一种​​树型的数据结构​​，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。

并查集解析

基本思想

• 初始化，一个森林每个都为独立。通常用数组表示，每个值初始为-1。​​各自为根​​



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• ​​join(a,b)​​​ 操作。a,b两个​​集合​​合并。注意这里的a，并不是a,b合并，而是a,b的集合合并。这就派生了一些情况：
• a，b如果是独立的(没有和其他合并)，那么直接a指向b(或者b指向a)，即​​data[a]=b​​​;同时为了表示这个集合有多少个，原本​​-1​​​的b再次-1.即​​data[b]=-2​​.表示以b为父亲的节点有|-2|个。



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• a,b如果有集合(可能有父亲，可能自己是根)，那么我们当然​​不能直接操作a,b​​(因为a,b可能已经指向别人了.)那么我们只能操作a,b的祖先。因为a,b的祖先是没有指向的(即数据为负值表示大小)。那么他们首先一个负值要加到另外一个上面去。另外这个数值要变成指向的那个表示联系。

对于上述你可能会有疑问：

如何查看a,b是否在一个集合？

• 查看是否在一个集合，只需要查看​​节点根祖先的结果是否相同即可​​。因为只有根的数值是负的，而其他都是正数表示指向的元素。所以只需要​​一直寻找直到不为正数进行比较即可​​！

a,b合并，究竟是a的祖先合并在b的祖先上，还是b的祖先合并在a上？

• 这里会遇到两种情况，这个选择也是非常重要的。你要弄明白一点：树的高度+1的化那么整个元素查询的效率都会降低！

所以我们通常是：小数指向大树(或者低树指向高树)，这个使得查询效率能够增加！

当然，在高度和数量的选择上，还需要你自己选择和考虑。

其他路径压缩？

每次查询，自下向上。当我们调用递归的时候，可以顺便压缩路径，因为我们查找一个元素其实只需要直到它的祖先，所以当他距离祖先近那么​​下次查询就很快​​。并且压缩路径的代价并不大！

代码实现

并查集实现起来较为简单，直接贴代码！

package 并查集不想交集合;

import java.util.Scanner;
public class DisjointSet {
  static int tree[]=new int[100000];//假设有500个值
  public DisjointSet()  {set(this.tree);}
  public DisjointSet(int tree[]) 
  {
    this.tree=tree;
    set(this.tree);
  }
  public void set(int a[])//初始化所有都是-1 有两个好处，这样他们指向-1说明是自己，第二，-1代表当前森林有-（-1）个
  {
    int l=a.length;
    for(int i=0;i<l;i++)
    {
      a[i]=-1;
    }
  }
  public int search(int a)//返回头节点的数值
  {
    if(tree[a]>0)//说明是子节点
    {
      return tree[a]=search(tree[a]);//路径压缩
    }
    else
      return a;
  }
  public int value(int a)//返回a所在树的大小（个数）
  {
    if(tree[a]>0)
    {
      return value(tree[a]);
    }
    else
      return -tree[a];
  }
  public void union(int a,int b)//表示 a，b所在的树合并
  {
    int a1=search(a);//a根
    int b1=search(b);//b根
    if(a1==b1) {System.out.println(a+"和"+b+"已经在一棵树上");}
    else {
    if(tree[a1]<tree[b1])//这个是负数，为了简单减少计算，不在调用value函数
    {
      tree[a1]+=tree[b1];//个数相加  注意是负数相加
      tree[b1]=a1;       //b树成为a的子树，直接指向a；
    }
    else
    {
      tree[b1]+=tree[a1];//个数相加  注意是负数相加
      tree[a1]=b1;       //b树成为a的子树，直接指向a；
    }
    }
  }
  public static void main(String[] args)
  {    
    DisjointSet d=new DisjointSet();
    d.union(1,2);
    d.union(3,4);
    d.union(5,6);
    d.union(1,6);
    
    d.union(22,24);
    d.union(3,26);
    d.union(36,24);
    System.out.println(d.search(6));  //头
    System.out.println(d.value(6));     //大小
    System.out.println(d.search(22));  //头
    System.out.println(d.value(22));     //大小
  }
}

结语

• 并查集属于简单但是很高效率的数据结构。在集合中经常会遇到。如果不采用并查集而传统暴力效率太低，而不被采纳。
• 另外，​​并查集还广泛用于迷宫游戏​​中，下面有机会可以介绍用并查集实现一个走迷宫小游戏。大家欢迎关注！
• 最后，欢迎大家关注笔者公众号，一起学习、交流！​​笔者学习资源​​也放置公众号和大家一起分享！