今天讲差分格式的稳定性，主要讲【初值稳定性】. 关于它的一些基本介绍就不说了, 因为这是学习笔记而不是用来讲课的notes，只是用来回顾一下主要内容.
参考书：
(1) J.W. Thomas - Numerical Partial Differential Equations_ Finite Difference Methods (1995, Springer)
(2) 张强《偏微分方程的有限差分方法》科学出版社，2019年1月版。
(3) K. W. Morton, D. F. Mayers - Numerical solution of partial differential equations (2005, Cambridge University Press)
本次的主要内容：
定义 [初值稳定性] 考虑齐次线性差分格式
(可以和时间层数与网格函数有关; 若与网格函数有关, 则PDE是非线性的)
给定离散范数当
趋于零时, 若数值解满足有界性
其中界定常数与
和
均无关, 则称差分格式按
具有初值稳定性.
注：若K与T有关, 则称差分格式具有短时间的数值稳定性; 若定界常数与T无关, 则称差分格式有长时间的初值稳定性.
例1 当且仅当
时, 模型问题(HP)的全显格式具有最大模初值稳定性, 此时, 离散最大模原理成立.
证明：全显格式是
它的系数和等于1, 且
时系数非负. 那么
于是
另一方面, 当
时, 右端出现负系数, 凸组合的系数结构不复存在. 反例: 考虑如下问题：
那么
进一步可推出
由于
则数值解趋于无穷, 全显格式不稳定. QED
例2
证明：全隐格式的差分方程是
均具有隐式的凸组合系数结构, 即等号右端系数都是正的, 左端系数不低于右端系数之和. 这样类型的数值格式满足离散最大模原理. 这是因为:
设
（因为(HP)问题只有有限个, 所以无穷范数
就是
把取到
的地方记成
）, 由该点的差分方程可知
从而
QED
注：上面例子中提到的方法是离散最大模原理: 如果任意网格点的差分方程都满足凸组合系数结构, 则差分格式满足离散最大模原理, 进而具有最大模稳定性. (这只是稳定的充分条件, 不一定是必要条件).
例3 考虑零边值的齐次(HD)问题(初边值问题). 讨论全显格式的初值稳定性.
利用全显格式的矩阵表示, 其数值解满足
其中
是
阶三对角矩阵. 若将网格函数视为
维的向量, 则有
若
则
当
时,
成立, 此时全显格式是最大模稳定的.
如果把最大模改为离散的
模，
而不等号左边等价于网格函数的
范数
: 只差
倍.
而对
模,
这里B是对称三对角阵. 矩阵B的特征值可以精确表示为
当
时, 谱范数满足
所以此时全显格式是
模稳定的.
注：上面的分析方法叫【直接矩阵方法】，直接分析矩阵的范数，比较它与1的关系.
例4 考虑零边值的齐次初边值问题(HD), 利用分离变量法证明全隐格式无条件具有
模的初值稳定性.
证明：在全隐格式中,
是三对角矩阵,
是单位矩阵, 矩阵
具有特征值
相应一个的特征向量
构成单位正交系. 由分离变量法, 全隐格式的数值解可以表示为
其中
由初值确定, 注意到
与
的正交性, 计算离散
模, 可得
即证. QED
注：用分离变量法构造全隐格式的步骤如下：设
其中
可以看作只关于
的网格函数,则
令
则
于是,
的特征值
都满足
, 对应的特征向量为
的特征向量
另外
可以化为
记
对应的
其中
与初值有关. 所以
可以表示为如下: (其中
与初值有关, 是
的常数倍)
注：复习分离变量法：
Fiddie：偏微分方程笔记(11)——分离变量法初探zhuanlan.zhihu.com
例5 分析差分格式
的稳定性.
证明：由相容性的讨论, 这个差分格式相容于下面PDE:
记
把格式改写为
则
或者改写为
由稳定性的定义, 令
联立可得
必定要有
(此时
), 解得
此时格式具有
模稳定性.
注：最大模稳定性留作作业.
Fourier方法
前面介绍了离散最大模原理(用来分析最大模稳定性)、直接矩阵方法、分离变量法. 下面介绍分析稳定性的第4种方法——Fourier方法. 关于Fourier方法的理论背景就不介绍了，着重关注这个方法怎么运用.
设时空网格
是等距的, 考虑线性常系数双层格式
其中
是非负整数,
是给定的差分系数, 与网格函数和网格点位置无关, 但可能与网格参数(如
)有关. 换言之, 在任意网格点的差分方程都
具有相同的形式. ( 变系数的PDE差分格式不能用Fourier方法!)
回顾PDE理论, 通过对某些特解进行线性组合, 可以用Fourier级数来表示偏微分方程的真解. 任取波数
如果把
代入到差分方程(*), 可得
简单的代数演算可以得到差分格式增长因子
定理1 双层格式
有
模稳定性, 即
的充要条件是
其中是一个(可能与
有关的)固定正常数.
证明：用Parseval恒等式与Fourier分析的理论, 略.
定理2 (标量)双层格式(*)是
模稳定的充要条件是如下的
von Neumann条件, 即当
时, 有
其中与
均无关.
注：这里加了标量，因为以后会引入向量双层格式的Fourier方法. 敬请关注.
证明：必要性, 设
是给定正数, 则
记
当
适当小时, 有
故
充分性： 由
从而得到稳定. QED
例6 [古典格式的
模稳定性]考虑模型问题(HP)和(HI)的两个古典格式, 利用Fourier方法, 建立相应的
模初值稳定性结论.
证明：将模态解
代入到全显格式, 简单计算可得
增长因子没有显式出现
(
包含
), 相应von Newmann条件是
它等价于时空约束条件
(解方程). 由于增长因子是一个数, 它也是全显格式具有
模稳定性的充要条件. QED
注：类似地全隐格式无条件具有
模稳定性，留作作业.
一些习题：
1. 问题(HP)(HI)的全隐格式无条件有
模稳定性.
2. 例5的格式无条件具有最大模稳定性. 3.(Morton, 2.6题)
(1)证明: 方程的两个根都按模不超过1的充要条件是:
(2)证明格式
是无条件模稳定的.
(3)证明格式
是无条件模不稳定的.
4. (Thomas, HW2.4.2题) 考虑初边值问题
其中差分格式为
其中若
则这个差分格式是稳定的.
5. (张强2.11题) 考虑问题
的Douglas格式
当时，Douglas格式保持离散最大模原理.
