高等数学上册 第四章 不定积分 知识点总结

不定积分

求不定积分的方法：

• 第一类换元法（凑微分法）
• 第二类换元法（变量代换）
• 分部积分法

例题

$1、求\int\frac{x^2}{(x+2)^3}dx \\ 思路：分子拆解成(x+2)^2-4(x+2)+4 \\ \,\\ 2、求\int\sin^2x\cos^5xdx \\ 对于\sin^{2k+1}x\cos^nx型函数，可做变换u=cosx；对于\sin^nx\cos^{2k+1}x型函数，可做变换u=sinx \\ \,\\ 3、\int \tan xdx=-\ln|\cos x|+C \\ \,\\ 4、求\int\sin^2x\cos^4xdx \\ 对于\sin^{2k}x\cos^{2l}x型函数，统统化作\cos2x \\ \,\\ 5、求\int\tan^5x\sec^3xdx \\ 对于\tan^nx\sec^{2k}x型函数，可做变换u=\tan x；对于\tan^{2k-1}x\sec^nx型函数，可做变换u=\sec x \\ \,\\ 6、\int\csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C \\ \,\\ 7、\int\sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C \\ \,\\ 8、求\int\cos 3x\cos 2xdx \\ 解析：不要化简成\cos x的形式，计算量太大易出错，简单的方法是用积化和差之后再用加法法则分别积分 \\ \,\\ 9、求\int\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx \\ 解析：可以利用倒代换，令x=\frac{1}{t}，可以消除分母中的x^4 \\ \,\\ 10、求\int\frac{x+1}{x^2+2x+5}dx \\ 解析：将分母化成(x+1)^2+4，再令x=2\tan t-1，可以做，但是对于这题有更简便的方法 \\ 即\int\frac{x+1}{x^2+2x+5}dx=\frac{1}{2}\int\frac{d(x^2+2x+5)}{x^2+2x+5} \\ \,\\ 11、\int\frac{dx}{e^x+e^{-x}}=\int\frac{e^x}{(e^x)^2+1}dx=\arctan(e^x)+C \\ \,\\ 12、求\int\frac{dx}{1+\sqrt{1-x^2}} \\ 思路：令x=\sin t，则原式=\int\frac{\cos t}{1+\cos t}，到这里就不太好做了 \\ 可以通过\cos二倍角公式化为\cos的二次幂，问题迎刃而解 \\ \,\\ 13、\int\frac{dx}{x+\sqrt{1-x^2}} \\ 设x=\sin t，则原式=\int\frac{\cos t}{\sin t+\cos t}dt，到这里就不太好做了 \\ 设I_1=\int\frac{\cos t}{\sin t+\cos t}dt，I_2=\int\frac{\sin t}{\sin t+\cos t}dt \\ 则I_1+I_2=\int dt=t+C，I_1-I_2=\int\frac{d(\sin t+\cos t)}{\sin t+\cos t}=\ln|\sin t+\cos t|+C \\ 联合上述两式，即可求得I_1$