引入
主成分分析（PCA）是一种常见的数据分析方法，通过该方法我们可以对数据进行降维操作，并且保留方差较大（信息量大）的维度。
为了引入相关概念，我们先看一组数据：
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
# 总共十个样本 每个样本有两个特征值
data = pd.read_csv('principal.csv') # 该数据文件可自己准备
data
该数据中有10个样本，每个样本有两个特征值。为了更为直观，我们把该数据画成散点图呈现出来：
plt.xlim((-3, 3))
plt.ylim((-3, 3))
plt.scatter(x, y)
数据呈现二维分布，现要求通过主成分分析提取出方差最大的一个维度。
实现过程与理论分析
首先可以看到数据点分布的很不规律，我们要对数据进行中心化操作，使得样本点具有一定相关性。
# 首先中心化
x_mean = np.mean(x)
y_mean = np.mean(y)
x_n = x - x_mean
y_n = y - y_mean
# 中心化结果
plt.xlim((-3, 3))
plt.ylim((-3, 3))
plt.scatter(x_n, y_n)
结果展示如图所示，可以看出样本点围绕原点分布。
其次，我们要计算出协方差矩阵（对角矩阵）。
# 竖直方向上合并为两行
# 计算出每个维度上的协方差对角矩阵
martix = np.cov(np.vstack((x_n.reshape(1, -1), y_n.reshape(1, -1))))
martix结果为：
array([[0.61655556, 0.61544444],
[0.61544444, 0.71655556]])
由于每个样本有2个特征取值，所以协方差矩阵为2*2的。对角线上分别是x和y的方差，非对角线上是协方差。协方差大于0表示x和y若有一个增，另一个也增；小于0表示一个增，一个减；协方差为0时，两者独立。协方差绝对值越大，两者对彼此的影响越大，反之越小。
如果样本是三维的，那么协方差矩阵为：（可以看出协方差矩阵属于对称矩阵）
第三，求协方差矩阵的特征值、特征向量。
# 求协方差矩阵的特征值、特征向量
lamt = np.linalg.eig(martix)
lamt结果为：
(array([0.0490834 , 1.28402771]), array([[-0.73517866, -0.6778734 ],
[ 0.6778734 , -0.73517866]]))
可分别表示为：
上面是两个特征值，下面是对应的特征向量，特征值0.0490833989对应特征向量为
这里的特征向量都归一化为单位向量。
特征值与特征向量到底代表了什么??
虽然我系统学习了线性代数，但是印象中课本上并没有详细讲述特征值与特征向量的实际意义。
首先我们回顾一下相关概念：对一个n*n的实对称矩阵进行分解，我们能够求出它的特征值和特征向量，就会产生n个n维的正交基（在特征值不同的情况下），每一个正交基会相应一个特征值。
然后把矩阵投影到这N个基上，此时特征值的模就表示矩阵在该基的投影长度，也是方差的大小。
特征值越大。说明矩阵在相应的特征向量上的方差越大。样本点越离散。越easy区分，信息量也就越多。因此。特征值最大的相应的特征向量方向上所包括的信息量就越多，假设某几个特征值非常小。那么就说明在该方向的信息量非常少，我们就能够删除小特征值相应方向的数据，仅仅保留大特征值方向相应的数据，这样做以后数据量减小。但实用的信息量都保留下来了。PCA就是这个原理。
第四，将特征值按照从大到小的顺序排序，选择其中最大的k个，然后将其对应的k个特征向量分别作为列向量组成特征向量矩阵。这里特征值只有两个，我们选择其中最大的那个.
即保留最重要的k个特征（通常k要小于n）。也能够自己制定。也能够选择一个阈值，然后通过前k个特征值之和减去后面n-k个特征值之和大于这个阈值，则选择这个k。
最后进行投影，将样本数据与特征值相乘，即投影在选择的较大特征值所对应的特征向量上。
data_n = np.hstack((x_n.reshape(1, -1).T, y_n.reshape(1, -1).T))
final_x = np.dot(data_n, max_)
final_x结果为：
array([[-0.82797019],
[ 1.77758033],
[-0.99219749],
[-0.27421042],
[-1.67580142],
[-0.9129491 ],
[ 0.09910944],
[ 1.14457216],
[ 0.43804614],
[ 1.22382056]])
这是投影过后的一维数据（方差最大），且k=1.如若k=2，则对于方差较小的数据投影如下：
final_y = np.dot(data_n, lamt[1][: , 0].reshape(1, -1).T)
final_y结果如下：
array([[-0.17511531],
[ 0.14285723],
[ 0.38437499],
[ 0.13041721],
[-0.20949846],
[ 0.17528244],
[-0.3498247 ],
[ 0.04641726],
[ 0.01776463],
[-0.16267529]])
我们把这两类数据再次画在坐标轴上。
final = np.hstack((final_x, final_y))
plt.xlim((-3, 3))
plt.ylim((-3, 3))
plt.scatter(final[: , 0], final[: , 1])结果如下：
图中的x轴、y轴实际上是上面计算出的两个特征向量！并且我们可以明显看出投影在x轴（方差最大的特征向量）上，数据分散程度较高，更能获取有用信息，也就是我们所需要的主成分！
