参考博客：https://www.ruanyifeng.com/blog/2011/08/bayesian_inference_part_one.html
贝叶斯的介绍
贝叶斯本质就一个条件概率公式P(A|B)，也就是在B事件发生的情况下，A事件发生的概率。贝叶斯推断是一种统计学方法，用来估量统计量的某种性质。英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理，因此为贝叶斯定理。
贝叶斯定理
要理解贝叶斯推断，必须先理解贝叶斯定理。后者实际上就是计算"条件概率"的公式。
所谓"条件概率"（Conditional probability），就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用$P(A|B)$来表示。
根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是$P(A\cap B)$除以$P(B)$。
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
因此
$P(A \cap B)=P(A|B)P(B)$
同理可得
$P(A \cap B)=P(B|A)P(A)$
所以
$P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$
即
$P(A|B)=\frac{P(B|A)*P(A)}{P(B)}$
这就是条件概率的计算公式
全概率公式
由于后面要用到，所以除了条件概率以外，这里还要推导全概率公式。
假定样本空间S，是两个事件A与A'的和。
上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A'，它们共同构成了样本空间S。
在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。
即
$P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap A')$
在上一节的推导当中，我们已知
$P(B\cap A)=P(B|A)P(A)$
所以，
$P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A')P(A')$
这就是全概率公式。它的含义是，如果A和A'构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。
将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法：
$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A')P(A')}$
贝叶斯推断的含义
对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式：
$P(A|B)=P(A)*\frac{P(B|A)}{P(B)}$
$P(A)$称为"先验概率"（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。
$P(A|B)$称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。
$P(B|A)/P(B)$称为"可能性函数"（Likelyhood），这是 一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。
所以，条件概率可以理解成下面的式子：
后验概率 ＝ 先验概率 ｘ 调整因子
这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。
在这里，如果"可能性函数"$P(B|A)/P(B)>1$，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；
如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；
如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。
水果糖问题
为了加深对贝叶斯推断的理解，我们看两个例子。
第一个例子。两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？
我们假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以P(H1)=P(H2)，也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，$P(H1)=0.5$，我们把这个概率就叫做"先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。
再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多大，即求$P(H1|E)$。我们把这个概率叫做"后验概率"，即在E事件发生之后，对P(H1)的修正。
根据条件概率公式，得到
$P(H1|E)=P(H1)*\frac{P(E|H1)}{P(E)}$
已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率，等于0.75，那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式，
$p(E)=p(E|H1)P(H1)+P(E|H2)P(H2)$
所以，
$P(E)=0.750.5+0.50.5=0.625$
将数字代入原方程，得到
$p(H1|E)=0.5*0.75/0.625=0.6$
这表明，来自一号碗的概率是0.6。也就是说，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增强。
假阳性问题
第二个例子是一个医学的常见问题，与现实生活关系紧密。
已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？
假定A事件表示得病，那么P(A)为0.001。这就是"先验概率"，即没有做试验之前，我们预计的发病率。
再假定B事件表示阳性，那么要计算的就是P(A|B)。这就是"后验概率"，即做了试验以后，对发病率的估计。
根据条件概率公式
$P(A|B)=\frac{P(B|A)*P(A)}{P(B)}$
用全概率公式改写分母
$P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})$
$P(A|B)=\frac{P(B|A)*P(A)}{P(B)}$
$P(A|B)=\frac{P(B|A)*P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})}$
将数字代入，
$P(A|B)=0.001\frac{0.99}{0.990.001+0.05*0.999}=0.019$
我们得到了一个惊人的结果，P(A|B)约等于0.019。也就是说，即使检验呈现阳性，病人得病的概率，也只是从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的"假阳性"，即阳性结果完全不足以说明病人得病。
为什么会这样？为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到2%？答案是与它的误报率太高有关。
如果误报率从5%降为1%，请问病人得病的概率会变成多少？
$P(A|B)=0.001\frac{0.99}{0.990.001+0.01*0.999}=0.0902$
有兴趣的朋友，还可以算一下"假阴性"问题，即检验结果为阴性，但是病人确实得病的概率有多大。然后问自己，"假阳性"和"假阴性"，哪一个才是医学检验的主要风险？
某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病
它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性,因此还有0.01的概率为阴性
它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性，0.95的可能呈阴性
- A表示得病，$P(A)=0.001$
- Y表示阴性 $P(Y|A) = 0.01$
- $P(Y|\overline{A})=0.95$
- $P(\overline{A})=0.999$
如果检测结果为阴性，病人确实得病的概率为$P(A|Y)=\frac{P(A)P(Y|A)}{P(A)P(Y|A)+P(\overline{A})*P(Y|\overline{A})}$
所以医学检测中，检测结果若为阴性，结果有误的概率非常小，因此结果为阴性的被检测者可以不去复查了。
阳性的话，根据推算可知，误报率比较高，需要进一步、最好使用其他方式复查
