多元线性回归决策树回归随机森林回归用于预测房价python编程

  如果数据的特征比样本点还多应该怎么办?是否还可以使用线性回归？答案是否定的。多元线性回归的算法，需要输入数据的矩阵是满秩矩阵。如果特征比样本点多，则说明输入矩阵不是满秩矩阵。
  为了解决以上问题，我们可以引入 “岭回归”，“lasso法”，“前向逐步回归” 三种缩减方法。
  缩减： 通过引入惩罚项，减少不重要的参数，这个技术在统计学中叫做缩减。

岭回归

$X^TX$上加上一个$\lambda I$从而使得矩阵非奇异，进而能对$X^TX+\lambda I$求逆。其中矩阵$I$是一个mxm的单位矩阵，对角线上元素全为1，其他元素全为0。而$\lambda$是一个用户定义的数值。回归系数的计算公式将变成：

$\hat{w} = (X^TX+\lambda I)^{-1}X^Ty$

算法思想

$\lambda$：

1. 获取数据后首先抽取一部分数据作为测试集，剩下数据作为训练集用于训练参数$w$
2. 训练完毕后在测试集上测试预测性能
3. 选取不同的$\lambda$重复上述的过程，最终得到一个使预测误差最小的$\lambda$

代码实现

对岭回归代码的实现：

def ridgeRegress(xMat, yMat, lam = 0.2):
    xTx = xMat.T * xMat
    denom = xTx + eye(int(shape(xMat)[1])) * lam
    if linalg.det(denom) == 0:
        return
    ws = denom.I * (xMat.T * yMat)
    return ws

通过矩阵返回查看$\lambda$对岭回归结果的影响，以便获取合适的惩罚值：

def ridgeTest(xArr, yArr):
    xMat2 = mat(xArr);
    yMat2 = mat(yArr).T
    yMean2 = mean(yMat2, 0)
    yMat2 = yMat2 - yMean2
    xMeans = mean(xMat2, 0)
    xVar = var(xMat2, 0)
    xMat2= (xMat2 - xMeans)/xVar
    numTestPts = 30
    wMat = zeros((numTestPts, int(shape(xMat2)[1])))
    for i in range(numTestPts):
        ws = ridgeRegress(xMat2, yMat2, exp(i-10))
        wMat[i, :] = ws.T
    return wMat

前向逐步回归

  前向逐步回归算法属于贪心算法，每一步都尽可能减少误差。一开始，所有的权重都设为1，然后每一步所做的决策对某个权重增加或减少一个很小的值。

伪代码实现：

数据标准化，使其分布满足0均值和单位方差
在每轮迭代过程中：
 设置当前最小误差lowestError为正无穷
 对每个特征:
  增大或缩小:
   改变一个系数得到一个新的$w$
   计算新$w$下的误差
   如果误差Error小于当前最小误差lowestError：设置Wbest等于当前的$w$
  将$w$设置为新的Wbest

代码实现:

def rssError(yArr,yHatArr): #yArr and yHatArr both need to be arrays
    return ((yArr-yHatArr)**2).sum()

def regularize(xMat):#regularize by columns
    inMat = xMat.copy()
    inMeans = mean(inMat,0)   #calc mean then subtract it off
    inVar = var(inMat,0)      #calc variance of Xi then divide by it
    inMat = (inMat - inMeans)/inVar
    return inMat

def stageWise(xArr, yArr, eps = 0.01, numIt = 100):
	xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T
	yMean = mean(yMat, 0)
	yMat = yMat - yMean
	xMat = regularize(xMat)
	m, n = shape(xMat)
	ws = zeros((n,1)); wsTest = ws.copy(); wsMax = ws.copy()
	for i in range(numIt):
		print ws.T
		lowestError = inf;
		for j in range(n):
			for sign in [-1, 1]:
				wsTest = ws.copy()
				wsTest[j] += eps*sign
				yTest = xMat * wsTest
				rssE = rssError(yMat.A, yTest.A)
				if rssE < lowestError:
					lowestError = rssE
					wsMax = wsTest
		ws = wsMax.coy()

代码分析：
1.数据输入：xArr(输入数据)， yArr(预测变量)， eps(每次迭代需要调整的步长)，numIt(迭代次数)
2.首先将输入数据转换并存入矩阵，然后把特征按照均值为0 方差为1进行标准化处理
3.创建一个ws来保存$w$值，为了实现贪心算法建立ws的两份副本
4.通过迭代numIt次优化过程，并且每次迭代都打印出$w$向量，用于分析算法执行的过程和效果

  通过使用平方误差，由函数rssError()得到。该误差初始值设为正无穷，经过所有的误差比较后取最小的误差。