R语言中的Stan概率编程MCMC采样的贝叶斯模型
概率编程使我们能够实现统计模型，而不必担心技术细节。这对于基于MCMC采样的贝叶斯模型特别有用。
stan简介
Stan是用于贝叶斯推理的C ++库。它基于No-U-Turn采样器（NUTS），该采样器用于根据用户指定的模型和数据估计后验分布。使用Stan执行分析涉及以下步骤：
- 使用Stan建模语言指定统计模型。通常通过专用的.stan 文件完成此操作 。
- 准备要提供给模型的数据。
- 使用该
stan 函数从后验分布中采样 。 - 分析结果。
在本文中，我将通过两个层次模型展示Stan的用法。我将使用第一个模型讨论Stan的基本功能，并使用第二个示例演示更高级的应用程序。
学校数据集
我们要使用的第一个数据集是 学校的数据集
正如我们所看到的，SAT并没有兑现其诺言：对于八所学校中的大多数，短期教练的确提高了SAT分数 。对于此数据集，我们有兴趣估算与每所学校相关的真实效果大小。可以使用两种替代方法。首先，我们可以假设所有学校彼此独立。但是，这将导致难以解释的估计，因为学校的95％的后验间隔由于高标准误差而在很大程度上重叠。第二，假设所有学校的真实效果都相同，则可以汇总所有学校的数据。但是，这也是不合理的，因为应该有针对学校的效果（例如，不同的老师和学生）。
因此，需要另一个模型。分层模型的优点是可以合并来自所有八所学校（实验）的信息，而无需假定它们具有共同的真实效果。我们可以通过以下方式指定层次贝叶斯模型：
根据该模型，教练的效果遵循正态分布，其均值是真实效果θjθj，其标准偏差为σjσj（从数据中得知）。真正的影响θjθj遵循参数μμ和ττ的正态分布。
定义Stan模型文件
在指定了要使用的模型之后，我们现在可以讨论如何在Stan中指定此模型。在为上述模型定义Stan程序之前，让我们看一下Stan建模语言的结构。
变量
在Stan中，可以通过以下方式定义变量：
int<lower=0> n; # lower bound is 0
int<upper=5> n; # upper bound is 5
int<lower=0,upper=5> n; # n is in [0,5]
注意，如果先验已知变量，则应指定变量的上下边界。
多维数据可以通过方括号指定：
vector[n] numbers; // a vector of length n
real[n] numbers; // an array of floats with length n
matrix[n,n] matrix; // an n times n matrix
程序
Stan中使用以下程序 ：
- data：用于指定以贝叶斯规则为条件的数据
- 转换后的数据：用于预处理数据
- 参数 （必填）：用于指定模型的参数
- 转换后的参数：用于计算后验之前的参数处理
- 模型 （必填）：用于指定模型本身
- 生成数量：用于对结果进行后处理
对于 模型 程序块，可以两种等效方式指定分布。第一个，使用以下统计符号：
y ~ normal(mu, sigma); # y follows a normal distribution
第二种方法使用基于对数概率密度函数（lpdf）的程序化表示法：
target += normal_lpdf(y | mu, sigma); # increment the normal log density
Stan支持大量的概率分布。通过Stan指定模型时，该 lookup 函数会派上用场：它提供从R函数到Stan函数的映射。考虑以下示例：
library(rstan) # load stan package
lookup(rnorm)
## StanFunction Arguments ReturnType Page
## 355 normal_rng (real mu, real sigma) real 494
在这里，我们看到rnorm R 中的等价 normal_rng 于Stan。
模型
现在，我们了解了Stan建模语言的基础知识，我们可以定义模型，并将其存储在一个名为的文件中 schools.stan：
注意，θ 永远不会出现在参数中。这是因为我们没有显式地对θθ进行建模，而是对ηη（各个学校的标准化效果）进行了建模。然后， 根据μμ，ττ和ηη在变换后的参数部分构造θθ 。此参数化使采样器更高效。
准备数据进行建模
在适合模型之前，我们需要将输入数据编码为一个列表，其参数应与Stan模型的数据部分中的条目相对应。对于学校数据，数据如下：
schools.data <- list(
n = 8,
y = c(28, 8, -3, 7, -1, 1, 18, 12),
sigma = c(15, 10, 16, 11, 9, 11, 10, 18)
)
从后验分布抽样
我们可以使用stan 函数从后验分布中采样，该 函数执行以下三个步骤：
- 它将模型规范转换为C ++代码。
- 它将C ++代码编译为共享对象。
- 它根据指定的模型，数据和设置从后验分布中采样。
如果 rstan_options(auto_write = TRUE) 已在活动的R会话中执行，则相同模型的后续调用将比第一次调用快得多，因为该 stan 函数随后跳过了前两个步骤（转换和编译模型）。此外，我们将设置要使用的内核数：
options(mc.cores = parallel::detectCores()) # parallelize
rstan_options(auto_write = TRUE) # store compiled stan model
现在，我们可以从后验中编译模型和样本。唯一需要的两个参数 stan 是模型文件的位置和要馈送到模型的数据。此处显示的其他参数仅用于概述可能的选项：
模型解释
我们将首先对模型进行基本解释，然后研究MCMC程序。
基本模型解释
要使用拟合模型执行推断，我们可以使用 print 函数。
print(fit1) # optional parameters: pars, probs
## Inference for Stan model: schools.
## 4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1;
## post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.
##
## mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat
## mu 7.67 0.15 5.14 -2.69 4.42 7.83 10.93 17.87 1185 1
## tau 6.54 0.16 5.40 0.31 2.52 5.28 9.05 20.30 1157 1
## eta[1] 0.42 0.01 0.92 -1.47 -0.18 0.44 1.03 2.18 4000 1
## eta[2] 0.03 0.01 0.87 -1.74 -0.54 0.03 0.58 1.72 4000 1
## eta[3] -0.18 0.02 0.92 -1.95 -0.81 -0.20 0.45 1.65 3690 1
## eta[4] -0.03 0.01 0.92 -1.85 -0.64 -0.02 0.57 1.81 4000 1
## eta[5] -0.33 0.01 0.86 -2.05 -0.89 -0.34 0.22 1.43 3318 1
## eta[6] -0.20 0.01 0.87 -1.91 -0.80 -0.21 0.36 1.51 4000 1
## eta[7] 0.37 0.02 0.87 -1.37 -0.23 0.37 0.96 2.02 3017 1
## eta[8] 0.05 0.01 0.92 -1.77 -0.55 0.05 0.69 1.88 4000 1
## theta[1] 11.39 0.15 8.09 -2.21 6.14 10.30 15.56 30.22 2759 1
## theta[2] 7.92 0.10 6.25 -4.75 4.04 8.03 11.83 20.05 4000 1
## theta[3] 6.22 0.14 7.83 -11.41 2.03 6.64 10.80 20.97 3043 1
## theta[4] 7.58 0.10 6.54 -5.93 3.54 7.60 11.66 20.90 4000 1
## theta[5] 5.14 0.10 6.30 -8.68 1.40 5.63 9.50 16.12 4000 1
## theta[6] 6.08 0.10 6.62 -8.06 2.21 6.45 10.35 18.53 4000 1
## theta[7] 10.60 0.11 6.70 -0.94 6.15 10.01 14.48 25.75 4000 1
## theta[8] 8.19 0.14 8.18 -8.13 3.59 8.01 12.48 25.84 3361 1
## lp__ -39.47 0.07 2.58 -45.21 -41.01 -39.28 -37.70 -34.99 1251 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Thu Nov 29 11:17:50 2018.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
在此，行名称表示估计的参数：mu是后验分布的平均值，而tau是其标准偏差。eta和theta的条目分别表示矢量ηη和θθ的估计值。该 LP 条目显示日志密度，这通常是不相关的。这些列表示计算值。百分比表示可靠的时间间隔。例如，指导的总体效果的95％可信区间μμ为[-1.27,18.26] [-1.27,18.26]。由于我们不确定平均值，因此θjθj的95％可信区间也很宽。例如，对于第一所学校，95％可信区间为[−2.19,32.33] [− 2.19,32.33]。
我们可以使用以下plot 函数来可视化估计中的不确定性 ：
黑线表示95％的间隔，而红线表示80％的间隔。圆圈表示平均值的估计。
我们可以使用以下extract 函数获取生成的样本 ：
# retrieve the samples
samples <- extract(fit1, permuted = TRUE) # 1000 samples per parameter
mu <- samples$mu # samples of mu only
MCMC诊断
通过绘制采样过程的轨迹图，我们可以确定采样期间是否出了问题。例如，如果链条在一个位置停留的时间过长或在一个方向上走了太多步，就是这种情况。我们可以使用以下traceplot 函数绘制模型中使用的四个链的轨迹 ：
# diagnostics:
traceplot(fit1, pars = c("mu", "tau"), inc_warmup = TRUE, nrow = 2)
要从各个马尔可夫链中获取样本，我们可以extract 再次使用该 函数：
## parameters
## chains mu tau eta[1] eta[2] eta[3] eta[4]
## chain:1 1.111120 2.729124 -0.1581242 -0.8498898 0.5025965 -1.9874554
## chain:2 3.633421 2.588945 1.2058772 -1.1173221 1.4830778 0.4838649
## chain:3 13.793056 3.144159 0.6023924 -1.1188243 -1.2393491 -0.6118482
## chain:4 3.673380 13.889267 -0.0869434 1.1900236 -0.0378830 -0.2687284
## parameters
## chains eta[5] eta[6] eta[7] eta[8] theta[1]
## chain:1 0.3367602 -1.1940843 0.5834020 -0.08371249 0.6795797
## chain:2 -1.8057252 0.7429594 0.9517675 0.55907356 6.7553706
## chain:3 -1.5867789 0.6334288 -0.4613463 -1.44533007 15.6870727
## chain:4 0.1028605 0.3481214 0.9264762 0.45331024 2.4657999
## parameters
## chains theta[2] theta[3] theta[4] theta[5] theta[6] theta[7]
## chain:1 -1.208335 2.482769 -4.31289292 2.030181 -2.147684 2.703297
## chain:2 0.740736 7.473028 4.88612054 -1.041502 5.556902 6.097494
## chain:3 10.275294 9.896345 11.86930758 8.803971 15.784656 12.342510
## chain:4 20.201935 3.147213 -0.05906019 5.102037 8.508530 16.541455
## parameters
## chains theta[8] lp__
## chain:1 0.8826584 -41.21499
## chain:2 5.0808317 -41.17178
## chain:3 9.2487083 -40.35351
## chain:4 9.9695268 -36.34043
为了对采样过程进行更高级的分析，我们可以使用该 shinystan 软件包 。使用该软件包，可以通过以下方式启动Shiny应用程序来分析拟合模型：
library(shinystan)
launch_shinystan(fit1)
层次回归
现在，我们对Stan有了基本的了解，我们可以深入研究更高级的应用程序：让我们尝试一下层次回归。在常规回归中，我们对以下形式的关系进行建模
此表示假设所有样本都具有相同的分布。如果存在一组样本，那么我们就会遇到问题，因为将忽略组内和组之间的潜在差异。
另一种选择是为每个组建立一个回归模型。但是，在这种情况下，估计单个模型时，小样本量会带来问题。
层次回归是两个极端之间的折衷。该模型假设组是相似的，但存在差异。
假设每个样本都属于KK组之一。然后，层次回归指定如下：
其中YkYk是第kk组的结果，αkαk是截距，XkXk是特征，β（k）β（k）表示权重。层次模型不同于其中YkYk分别适合每个组的模型，因为假定参数αkαk和β（k）β（k）源自共同的分布。
数据集
分层回归的经典示例是 鼠数据集。该纵向数据集包含5周内测得的 鼠体重。让我们加载数据：
## day8 day15 day22 day29 day36
## 1 151 199 246 283 320
## 2 145 199 249 293 354
## 3 147 214 263 312 328
## 4 155 200 237 272 297
## 5 135 188 230 280 323
## 6 159 210 252 298 331
让我们调查数据：
library(ggplot2)
ggplot(ddf, aes(x = variable, y = value, group = Group)) + geom_line() + geom_point()
数据显示线性增长趋势对于不同的大鼠非常相似。但是，我们还看到，大鼠的初始体重不同，需要不同的截距，并且生长速度也需要不同的斜率。因此，分层模型似乎是适当的。
层次回归模型的规范
该模型可以指定如下：
第i个大鼠的截距由αiαi表示，斜率由βiβi表示。注意，测量时间的中心是x = 22x = 22，它是时间序列数据的中值测量值（第22天）。
现在，我们可以指定模型并将其存储在名为的文件中 rats.stan：
请注意，模型代码估算的是方差（ sigmasq 变量）而不是标准偏差。
资料准备
为了准备模型数据，我们首先将测量点提取为数值，然后将所有内容编码为列表结构：
days <- as.numeric(regmatches(colnames(df), regexpr("[0-9]*$", colnames(df))))
rat.data <- list(N = nrow(df), T = ncol(df), x = days,
y = df, xbar = median(days))
拟合回归模型
现在，我们可以为老鼠体重数据集拟合贝叶斯层次回归模型：
rat.model <- stan(
file = "rats.stan",
data = rat.data)
# model contains estimates for intercepts (alpha) and slopes (beta)
层次回归模型的预测
在确定了每只大鼠的αα和ββ之后，我们现在可以估计任意时间点单个大鼠的体重。在这里，我们有兴趣寻找从第0天到第100天的大鼠体重。
ggplot(pred.df[pred.df$Rat %in% sel.rats, ],
aes(x = Day, y = Weight, group = Rat,
ymin = Lwr_Weight, ymax = Upr_Weight)) +
geom_line() +
geom_errorbar(width=0.2, size=0.5, color="blue")
与原始数据相比，该模型的估计是平滑的，因为每条曲线都遵循线性模型。研究最后一个图中所示的置信区间，我们可以看到方差估计是合理的。我们对采样时（第8至36天）的老鼠体重充满信心，但是随着我们远离采样区域，不确定性会增加。
