一、Stirling 子集数
Stirling 子集数 :
将 n n n 个不同的球 放到 k k k 个相同的盒子 中 , 不能有空盒 , 即 每个盒子至少放一个球 ;
不同的放置方法总数是 : { n k } \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} {nk} , 该数称为 Stirling 数 ;
将 n n n 元集分成 k k k 个非空子集 的 分法个数 ;
划分 与 等价关系 的描述是等价的 , 每个 划分 都与 等价关系 一一对应 ;
Stirling 子集数作用 : 求集合中有多少不同的 等价关系 , 即求集合中有多少个不同的 划分 ;
二、放球模型
放球模型 : 上述 斯特林 Stirling 子集数 , 是小球放在盒子中 , 小球是有编号的 , 需要 区分不同的小球 , 盒子是没有编号的 , 不需要进行区分盒子 ; 下面整理下不同的放球模型 :
- 球有编号 , 盒子没有编号 ( 不同的球放在相同盒子里 ) : 这是求集合 划分问题 , Stirling 数 ; 这属于放球子模型 ;
- 球没有编号 , 盒子有编号 ( 相同的球放在不同盒子里 ) : 不定方程解问题 , 多重集组合问题 , 正整数剖分问题 ;
- 球有编号 , 盒子有编号 ( 不同的球放在不同的盒子里 ) : 多重集排列 , 指数函数问题 ;
{ n k } \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} {nk} 表示将 n n n 个元素分成 k k k 个子集的分法个数 ;
( n k ) \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (nk) 表示从 n n n 个元素中选出 k k k 个小球的方案个数 ;
参考 : 百度百科-放球问题
三、Stirling 子集数递推公式
常见的 Stirling 子集数 结果 :
{ n 0 } = 0 \begin{Bmatrix} n \\ 0 \end{Bmatrix} = 0 {n0}=0
将 n n n 个球放在 0 0 0 个不同的盒子里 , 有 0 0 0 种分法 ;
将 n n n 个元素分成 0 0 0 类 , 有 0 0 0 种分法 ; 就是 没有方法 ;
{ n 1 } = 1 \begin{Bmatrix} n \\ 1 \end{Bmatrix} = 1 {n1}=1
将 n n n 个球放在 1 1 1 个不同的盒子里 , 有 1 1 1 种分法 ;
将 n n n 个元素分成 1 1 1 类 , 有 1 1 1 种分法 ; 相当于 全域关系 ;
{ n 2 } = 2 n − 1 − 1 \begin{Bmatrix} n \\ 2 \end{Bmatrix} = 2^{n -1} - 1 {n2}=2n−1−1
将 n n n 个球放在 2 2 2 个不同的盒子里 , 有 2 n − 1 2^n -1 2n−1 种分法 ;
n n n 元集有 2 n 2^n 2n 个不同的子集合 , 这是幂集的个数 , 每个子集合 , 与其补集都成对 , 因此 有 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1 对集合 , 其中要 减去 空集合 与 全集合 的那一对 , 最终结果是 2 n − 1 − 1 2^{n -1} - 1 2n−1−1 ;
{ n n − 1 } = C 2 n \begin{Bmatrix} n \\ n-1 \end{Bmatrix} = C^n_2 {nn−1}=C2n
将 n n n 个球放在 n − 1 n-1 n−1 个不同的盒子里 , 有 C 2 n C^n_2 C2n 种分法 ;
将 n n n 个元素分成 n − 1 n-1 n−1 类 , 有两个元素算作一类 , 其它每个元素都自成一类 ; 只要将 n n n 个元素中属于一类的 2 2 2 个元素选出即可 , 有多少中选法 , 就有多少分类 ;
{ n n } = 1 \begin{Bmatrix} n \\ n \end{Bmatrix} = 1 {nn}=1
将 n n n 个球放在 n n n 个不同的盒子里 , 有 1 1 1 种分法 ;
将 n n n 个元素分成 n n n 类 , 有 1 1 1 种分法 ; 相当于 恒等关系 ;
Stirling 子集数 递推公式 :
{ n k } = k { n − 1 k } + { n − 1 k − 1 } \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} = k\begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{Bmatrix} {nk}=k{n−1k}+{n−1k−1}
将
n
n
n 个元素分为
k
k
k 类 ,
先把一个元素挑出来 , 放在一边 , 还剩
n
−
1
n-1
n−1 个元素 ;
挑出的元素合并到其它类 : 将这 n − 1 n-1 n−1 个元素分为 k k k 类 , 将挑出来的元素分别加入到 k k k 类中 ; 得到的总结果就是 n n n 个元素分为 k k k 类 , 挑出来的元素分别加入到 k k k 类中 , 有 k k k 种不同的方法 , 即分别加入到低 1 , 2 , 3 , ⋯ , k 1,2,3, \cdots , k 1,2,3,⋯,k 类中 ;
挑出的元素自成一类 : 将 n − 1 n-1 n−1 个元素分为 k − 1 k-1 k−1 类 , 每个类都非空 , 然后让挑出来的元素自成一类 , 该自称一类的类 与 之前的 k − 1 k-1 k−1 个类 , 合并在一起是 k k k 个类 ;
上述两种情况同时考虑 , 就是 Stirling 子集数的递推公式 ;
k { n − 1 k } k\begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix} k{n−1k} 含义 : 将 n − 1 n-1 n−1 个元素分成 k k k 个子集 { n − 1 k } \begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix} {n−1k} , 再 加入第 n n n 个元素到其中之一 有 k k k 种方案 , 在上述基础上乘以 k k k ;
{ n − 1 k − 1 } \begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{Bmatrix} {n−1k−1} 含义 : 将 n − 1 n-1 n−1 个元素分成 k − 1 k-1 k−1 个子集 { n − 1 k − 1 } \begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{Bmatrix} {n−1k−1} , 剩下的第 n n n 个元素自然成为一个子集 ( 只有唯一一种方案 ) ;
四、Stirling 子集数示例 ( 四元集等价关系个数 )
求四元集上的等价关系个数 , 即 4 4 4 个元素分为 1 , 2 , 3 , 4 1, 2,3,4 1,2,3,4 类的分法相加 ;
{ 4 1 } + { 4 2 } + { 4 3 } + { 4 4 } = 1 + ( 2 4 − 1 − 1 ) + C 2 4 + 1 = 1 + 7 + 6 + 1 = 15 \begin{Bmatrix} 4 \\ 1 \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} 4 \\ 2 \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix} 4 \\ 4 \end{Bmatrix} = 1 + ( 2^{4-1} - 1 ) + C^4_2 +1 =1+7+6+1 = 15 {41}+{42}+{43}+{44}=1+(24−1−1)+C24+1=1+7+6+1=15
四元集上的 有序对个数是 4 × 4 = 16 4 \times 4 = 16 4×4=16 个 ;
四元集上的 关系个数是 2 16 = 65536 2^{16} =65536 216=65536 个 ; 包含如下情况 , 含有 0 0 0 个有序对 , 含有 1 1 1 个有序对 , ⋯ \cdots ⋯ , 含有 16 16 16 个有序对 ;
上面 65536 65536 65536 个二元关系中有 15 15 15 个是等价关系 ;
五、划分的二元关系 加细关系
集族
A
\mathscr{A}
A 和 集族
B
\mathscr{B}
B 都是 集合
A
A
A 的划分 ,
如果
A
\mathscr{A}
A 中每个划分块 都包含于
B
\mathscr{B}
B 的某个划分块 中 , 则称
A
\mathscr{A}
A 划分 是
B
\mathscr{B}
B 划分 的加细 ;
加细 是一个二元关系 , 是划分之间的二元关系 ;
加细关系具有 :
- 自反省 : 每个划分是它自己的加细
- 传递性 : A \mathscr{A} A 是 B \mathscr{B} B 的加细 , B \mathscr{B} B 是 C \mathscr{C} C 的加细 , A \mathscr{A} A 是 C \mathscr{C} C 的加细
- 没有对称性 : 加细不具有对称性
- 没有全域关系 : 有的划分之间互相都不是加细
