思维导图

集合论(基础+二元关系+函数)_枚举法

集合论基础

基本概念及集合的表示方法

  • 集合与元素
  • 有限集合与无限集合
  • 集合的表示方法
  • 说明

集合间的关系

  • 被包含关系(子集)

    • 定义
    • 性质

  • 相等关系

    • 定义
    • 性质

  • 真被包含关系(真子集)

    • 定义
    • 性质

特殊集合

  • 全集 E

    • 定义
    • 性质

  • 空集 Φ

    • 定义
    • 性质

  • 集合的幂集(Power Set)

    • 定义
    • 性质

集合的运算

  • 交运算∩

    • 定义
    • 性质

  • 并运算∪

    • 定义
    • 性质

  • 差运算- (相对补集)

    • 定义
    • 性质

  • 绝对补集 ~

    • 定义
    • 性质

  • 对称差

    • 定义
    • 性质

  • 小结

包含排斥原理

小结

二元关系

序偶与集合的笛卡尔积

  • 序偶与有序n元组
  • 集合的笛卡尔积

关系及其表示法

  • 例子

  • 基本概念

    • 关系的定义
    • 关系的定义域与值域

  • 关系的表示方法

    • 枚举法
    • 谓词公式法
    • 有向图法
    • 矩阵表示法

  • 三个特殊关系

    • 空关系Φ
    • 完全关系(全域关系)
    • A上的恒等关系IA

  • 关系的集合运算

关系的性质

  • 自反性
  • 反自反性
  • 对称性
  • 反对称性
  • 传递性
  • 小结
  • 练习

关系的复合 Composition of Relations

  • 引入

  • 定义

  • 复合关系的计算方法 (俗称过河拆桥法)

    • 枚举法
    • 有向图法
    • 关系矩阵法
    • 谓词公式法
    • 练习

  • 复合计算的性质

    • 3条

  • 关系的乘幂

逆关系Inverse Relation

  • 定义

  • 计算方法

  • 性质

    • 性质1
    • 性质2
    • 性质3
    • 性质4
    • 性质5
    • 性质6
    • 性质7
    • 性质8

  • 小结

关系的闭包(Closure)运算

  • 例子

  • 定义

  • 计算方法

    • 定理1
    • 定理2
    • 定理3
    • 定理4

  • 性质

    • 定理5
    • 定理6
    • 定理7
    • 定理8

  • 小结

集合的划分与覆盖Partition and Covering of a Set

  • 引入
  • 定义
  • 最小划分与最大划分
  • 交叉划分
  • 划分的加细

等价关系与等价类 Equivalence Relations ＆ Equivalence Class

  • 等价关系

    • 定义
    • 等价关系的有向图

  • 等价类

    • 定义

    • 由等价关系图求等价类

    • 等价类性质

      • 性质1
      • 性质2
      • 性质3
      • 性质4
      • 性质5
      • 性质6

  • 商集(Quotient Sets)

    • 定义
    • 定理

  • 由划分确定等价关系

  • 小结

相容关系Compatibility Relation

  • 定义
  • 简化图和简化矩阵
  • 相容类及最大相容类
  • 完全覆盖
  • 由覆盖求相容关系
  • 小结

次序关系

  • 偏序关系(partial order relation)

    • 定义
    • x与y是可比较的

  • 全序(线序、链)

  • 偏序集的哈斯图(Hasse图)

    • 元素y盖住元素x
    • 偏序集Hasse图的画法

  • 偏序集中的重要元素

    • 极小元与极大元
    • 最小元与最大元
    • 小结
    • 上界与下界(Upper Bound and Lower Bound)
    • 最小上界(上确界)和最大下界(下确界)(Least Upper Bound and Greatest Lower Bound)

  • 良序

  • 小结

函数

函数的基本概念

  • 概念

    • 定义
    • 自变元与函数值(像源与映像)
    • 定义域、值域和陪域(共域)

  • 函数的表示方法

  • 从X到Y函数的集合Yˣ

  • 特殊函数

    • 常值函数
    • 恒等函数

  • 两个函数相等

  • 函数的类型

  • 小结

函数的复合

  • 定义

  • 复合函数的计算

  • 函数复合的性质

    • 定理5-2.1
    • 定理5-2.2
    • 定理5-2.3
    • 定理5-2.4

逆函数

  • 定义

  • 性质

    • 定理5-3.1
    • 定理5-3.2
    • 定理5-3.3
    • 定理5-3.4

集合的特征函数与模糊子集

  • 集合的特征函数

    • 定义
    • 性质

  • 模糊子集

    • 定义
    • 模糊子集的表示方法
    • 模糊集合的运算

集合的基数

  • 自然数

    • 集合A的后继集合A+
    • 自然数集合N的定义(Peano公理)

  • 集合的等势

    • 定义
    • 集合间的等势关系“~”是个等价关系

  • 基数类和基数

    • 基数类
    • 基数

  • 有限集合与无限集合

  • 可数集合及其基数

    • 自然数集合N的基数

    • 可数集

    • 可数集的判定

      • 定理5-5.1

    • 至多可数集

  • 不可数集合及其基数

    • 实数轴上的(0,1)区间中的实数是不可数的
    • 连续统基数
    • 计算公式

  • 基数的比较

    • 定理5-5.2
    • 定理5-5.3(Zermelo定理)
    • 定理5-5.4(Contor- Schroder- Bernstein定理)
    • 定理5-5.5
    • 定理5-5.6
    • 连续统假设
    • 小结

  • 小结