一、 二元关系
n n n 元关系 :
元素 都是 有序 n n n 元组的集合 ;
n n n 元关系示例 :
3 元关系 : F 1 = { < 1 , 2 , 3 > , < a , b , c > , < 数 学 , 物 理 , 化 学 > } F_1 = \{ <1, 2, 3> , <a, b, c> , <数学 , 物理 , 化学> \} F1={<1,2,3>,<a,b,c>,<数学,物理,化学>}
F 1 F_1 F1 是 3 3 3 元关系 , 其每个元素都是 有序 3 3 3 元组 ;
4 元关系 : F 2 = { < 1 , 2 , 3 , 4 > , < a , b , c , d > , < 语 文 , 数 学 , 物 理 , 化 学 > } F_2 = \{ <1, 2, 3, 4> , <a, b, c, d> , <语文 , 数学 , 物理 , 化学> \} F2={<1,2,3,4>,<a,b,c,d>,<语文,数学,物理,化学>}
F 2 F_2 F2 是 4 4 4 元关系 , 其每个元素都是 有序 4 4 4 元组 ;
上述有序 n n n 元组 , 个数相同 , 元素性质可以不同 ;
二、 二元关系记法
如果 F F F 是二元关系 ( F F F 是有序 2 2 2 元组集合 )
则有 :
< x , y > ∈ F <x, y> \in F <x,y>∈F
⇔ \Leftrightarrow ⇔
x 与 y 有 F 关 系 x 与 y 有 F 关系 x与y有F关系
⇔ \Leftrightarrow ⇔
x F y xFy xFy
二元关系记法 :
① 中缀记法 ( infix ) : x F y xFy xFy
② 前缀记法 ( prefix ) : F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) , 或 F x y Fxy Fxy
③ 后缀记法 ( suffix ) : < x , y > ∈ F <x,y> \in F <x,y>∈F , 或 x y F xyF xyF
如 : 2 < 5 2 < 5 2<5 , 2 2 2 小于 5 5 5 ;
① 中缀记法 ( infix ) : 2 < 5 2 < 5 2<5
② 前缀记法 ( prefix ) : < ( 2 , 5 ) <(2, 5) <(2,5)
③ 后缀记法 ( suffix ) : < 2 , 5 > ∈ < <2,5> \in < <2,5>∈<
三、 A 到 B 的二元关系
A A A 到 B B B 的二元关系概念 :
A × B A \times B A×B 的 任意子集 是 A A A 到 B B B 的二元关系
⇔ \Leftrightarrow ⇔
R ⊆ A × B R \subseteq A \times B R⊆A×B
⇔ \Leftrightarrow ⇔
R ∈ P ( A × B ) R \in P(A \times B) R∈P(A×B)
A A A 到 B B B 的二元关系 其中可能有 1 1 1 个集合 , 2 2 2 个集合 , ⋯ \cdots ⋯ , n n n 个集合 ;
四、 A 到 B 的二元关系个数
A A A 到 B B B 的二元关系个数 :
∣ A ∣ = m |A| = m ∣A∣=m , ∣ B ∣ = n |B| = n ∣B∣=n
A A A 集合元素个数 m m m 个 , B B B 集合元素个数 n n n 个 ;
有序对个数 : ∣ A × B ∣ = m n |A \times B| = mn ∣A×B∣=mn
二元关系 个数 : ∣ P ( A × B ) = 2 m n ∣ |P(A \times B) = 2^{mn}| ∣P(A×B)=2mn∣ , 即 上述 m n mn mn 个有序对总集合的 幂集 个数 ;
A A A 到 B B B 的二元关系个数 = A × B A \times B A×B 幂集个数 = 2 m n 2^{mn} 2mn 个
五、 A 到 B 的二元关系举例
A = { a 1 , a 2 } A = \{a_1, a_2\} A={a1,a2} , B = { b } B = \{ b \} B={b}
A A A 集合 与 B B B 集合的卡氏积是 :
A × B = { ∅ , { < a 1 , b > } , { < a 2 , b > } } A \times B = \{ \varnothing, \{ <a_1 , b> \} , \{ <a_2 , b> \} \} A×B={∅,{<a1,b>},{<a2,b>}}
分析 : 其中有 3 3 3 个有序对 , 其二元关系个数有 2 2 × 1 = 4 2^{2 \times 1} = 4 22×1=4 个 , 即 上述 有序对集合的幂集 , 分别是 有 0 0 0 个有序对的个数 0 0 0 个 , 1 1 1 个有序对的个数 2 2 2 个 , 2 2 2 个有序对个数 1 1 1 个 ;
A A A 集合 到 B B B 集合的 二元关系 : 有 4 4 4 个 ;
R 1 = ∅ R_1 = \varnothing R1=∅ , a 1 a_1 a1 与 b b b 没有关系 , a 2 a_2 a2 与 b b b 没有关系 ;
R 2 = { < a 1 , b > } R_2 = \{ <a_1 , b> \} R2={<a1,b>} , a 1 a_1 a1 与 b b b 有关系 , a 2 a_2 a2 与 b b b 没有关系 ;
R 3 = { < a 2 , b > } R_3 = \{ <a_2 , b> \} R3={<a2,b>} , a 1 a_1 a1 与 b b b 有关系 , a 2 a_2 a2 与 b b b 没有关系 ;
R 4 = { < a 1 , b > , < a 2 , b > } R_4 = \{ <a_1 , b> , <a_2, b> \} R4={<a1,b>,<a2,b>} , a 2 a_2 a2 与 b b b 有关系 , a 1 a_1 a1 与 b b b有关系 ;
B B B 集合 与 A A A 集合的卡氏积是 :
A × B = { ∅ , { < b , a 1 > } , { < b , a 2 > } } A \times B = \{ \varnothing, \{ <b, a_1 > \} , \{ <b, a_2 > \} \} A×B={∅,{<b,a1>},{<b,a2>}}
分析 : 其中有 3 3 3 个有序对 , 其二元关系个数有 2 2 × 1 = 4 2^{2 \times 1} = 4 22×1=4 个 , 即 上述 有序对集合的幂集 , 分别是 有 0 0 0 个有序对的个数 0 0 0 个 , 1 1 1 个有序对的个数 2 2 2 个 , 2 2 2 个有序对个数 1 1 1 个 ;
B B B 集合 到 A A A 集合的 二元关系 : 有 4 4 4 个 ;
R 5 = ∅ R_5 = \varnothing R5=∅ , b b b 与 a 1 a_1 a1 没有关系 , b b b 与 a 2 a_2 a2 没有关系 ;
R 6 = { < b , a 1 > } R_6 = \{ <b, a_1 > \} R6={<b,a1>} , b b b 与 a 1 a_1 a1 有关系 , b b b 与 a 2 a_2 a2 没有关系 ;
R 7 = { < b , a 2 > } R_7 = \{ <b, a_2> \} R7={<b,a2>} , b b b 与 a 1 a_1 a1 没有关系 , b b b 与 a 2 a_2 a2 有关系 ;
R 8 = { < b , a 1 > , < b , a 2 > } R_8 = \{ <b, a_1 > , <b, a_2> \} R8={<b,a1>,<b,a2>} , b b b 与 a 1 a_1 a1 有关系 , b b b 与 a 2 a_2 a2 有关系 ;
