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​参考博客 :​ 按照顺序看





一、指数生成函数


多重集的 组合数 , 使用 生成函数 进行计算 ;

多重集的 排列数 , 使用 指数生成函数 进行计算 ;



序列 { a n } \{ a_n \} {an} , 其通项公式是 a n a_n an ,

{ a n } \{ a_n \} {an} 的 一般生成函数是 G ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n G(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n x^n G(x)=n=0∑∞anxn ,

{ a n } \{ a_n \} {an} 的 指数生成函数是 G e ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n n ! G_e(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \cfrac{x^n}{n!} Ge(x)=n=0∑∞ann!xn       \ \ \ \,     ​★ ( 重点公式 )​



{ a n } \{ a_n \} {an} 的 指数生成函数 是在一般生成函数的基础上 除以了 n ! n! n! ;






二、排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数


​排列数 :​ P ( n , r ) = n ! ( n − r ) ! P(n,r) = \cfrac{n!}{(n-r)!} P(n,r)=(n−r)!n! , n n n 个元素中取 r r r 个元素 , 不允许重复的排列数 ;

​组合数 :​ C ( n , r ) = n ! r ! ( n − r ) ! C(n,r) = \cfrac{n!}{r!(n-r)!} C(n,r)=r!(n−r)!n! , n n n 个元素中取 r r r 个元素 , 不允许重复的组合数 ;




组合数对应的生成函数 是 G ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( m n ) x n G(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dbinom{m}{n} x^n G(x)=n=0∑∞(nm)xn , 收敛后是 ( 1 + x ) n (1+x)^n (1+x)n

排列数对应的生成函数 是 G ( x ) = ∑ n = 0 ∞ P ( m , n ) x n G(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}P(m, n) x^n G(x)=n=0∑∞P(m,n)xn , 根据 n ! C ( m , n ) = P ( m , n ) n! C(m,n) = P(m, n) n!C(m,n)=P(m,n) , 该排列数的生成函数 , 每一项都除以 n ! n! n! , 就可以得到对应的组合数的生成函数 ;

排列计数对应的指数生成函数 是 G e ( x ) = ∑ n = 0 ∞ P ( m , n ) x n n ! G_e(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}P(m, n) \cfrac{x^n}{n!} Ge(x)=n=0∑∞P(m,n)n!xn , 根据 根据 C ( m , n ) = P ( m , n ) n ! C(m,n) =\cfrac{ P(m, n)}{n!} C(m,n)=n!P(m,n) , 可以得出如下结论 :



排列计数的指数生成函数 = = = 组合计数的普通生成函数






三、指数生成函数示例


​数列 b n = 1 b_n=1 bn=1 , 求 { b n } \{ b_n \} {bn} 的指数生成函数 ;​




数列是 { 1 , 1 , 1 , ⋯   } \{1, 1 ,1 , \cdots\} {1,1,1,⋯}

普通生成函数 G ( x ) = 1 + x + x 2 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n G(x) = 1 + x + x^2 + \cdots = \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n G(x)=1+x+x2+⋯=n=0∑∞xn

指数生成函数 G e ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = e x G_e(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\cfrac{x^n}{n!}=e^x Ge(x)=n=0∑∞n!xn=ex