射影几何基础

射影几何基础

文章目录

• 射影几何基础

• 2D

• 2D点
• 2D直线
• 二次曲线

• 3D

• 3D点
• 3D 平面
• 3D直线

2D

2D点

欧氏空间中的笛卡尔坐标，缩放、旋转和仿射变换能表示成矩阵运算（线性） ； 但平移变换和透视投影不能表示成矩阵相乘。所以为了解决这个问题引入齐次坐标，其中齐次坐标有如下特性：

• 所有2D/3D几何变换可表示成矩阵运算/线性变换 $X$
• 可以表示无穷远点

	笛卡尔坐标系	齐次坐标系
2D
3D

射影几何用于 3D世界到2D图像之间的映射

射影空间$IP^n$：欧氏空间$IR^n$的扩展

齐次坐标 $[x_1,x_2,\dots,x_n,x_{n+1}]$

无穷远点$x_{n+1}=0$、无穷远直线、无穷远平面

当$x_{n+1}=0$，我们成该点为无穷远点（Infinity）， 或理想点(Idea Point)

射影空间之间的映射为共线性映射，即保持共线 性（共线的点经过射影映射后还共线）。

从$IP^m$到$IP^n$的共线映射为$X$，其中$H$为$(n+1)\times (m+1)$的矩阵

其中2D欧氏坐标$IR^{2}$的点的笛卡尔坐标为$(x,y)^{\mathrm{T}}$ 2D射影空间$IP^{2}$的点的齐次坐标为$x=(x,y,w)^{\mathrm{T}}$, 对应$IR^{2}$的点 $(x/w,y/w)^{\mathrm{T}}$

可知道在笛卡尔坐标系中(2,1)的点在摄影空间为(2,1,1)

易知在笛卡尔坐标系中直线方程为$Ax+By+C=0$

在笛卡尔空间中两条平行线是不可以相交的，但是在射影空间中两条平行线是可以相交的，如火车的铁轨

易知在笛卡尔坐标系中两平行线的交点方程为
$\begin{cases} Ax+By+C=0\\ Ax+By+D=0 \end{cases}$
可知此方程无解，因为当且仅当C=D时方程组成立，但是此两条直线重合

但在射影空间中
$\begin{cases} A\frac{x}{w}+B\frac{y}{w}+C=0\\ A\frac{x}{w}+B\frac{y}{w}+D=0\\ \end{cases}$
即
$\begin{cases} Ax+By+Cw=0\\ Ax+By+Dw=0 \end{cases}$
所以可知当w=0时，两平行线相交

欧氏空间中的平行线不会相交，但我们可以在齐次坐标下(射影空间)计算其叉乘，得到第3个元素为0，即无穷远点一般形式：给定两条平行线$l_1=[a\quad b\quad c_1]^{\mathrm{T}},\quad l_2=[a\quad b\quad c_2]^{\mathrm{T}}$

则交点为
$l_1\times l_2=\begin{bmatrix}bc_2-c_1b\\c_1a-ac_2\\ab-ba\end{bmatrix}=(c_2-c_1)\begin{bmatrix}b\\-a\\0\end{bmatrix}$

2D直线

2D射影空间IP²的直线也用3维齐次坐标表示为$l=(a,b,c)^{\mathrm{T}}$

点$x=(x,y,1)^{\mathrm{T}}$在直线$l$上：点到直线的距离为0，可得
$\begin{aligned} ax + by + c&=0\\ \begin{bmatrix} a,b,c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix} &=0\\ l^Tx=x^Tl&=0 \end{aligned}$
易知给定两点$x_1,x_2$，可得经过这两点的一条直线$l=x_1\times x_2$
$\begin{aligned} l&=x_1\times x_2\\ &=\left|\begin{matrix} i&j&k\\ x_{1,1}&x_{1,2}&x_{1,3}\\ x_{2,1}&x_{2,2}&x_{2,3} \end{matrix}\right|\\ &=(x_{1,2}x_{2,3}-x_{1,3}x_{2,2})i\\ &+(x_{1,3}x_{2,1}-x_{1,1}x_{2,3})j\\ &+(x_{1,1}x_{2,2}-x_{1,2}x_{2,1})k\\ &=\begin{bmatrix}x_{1,2}x_{2,3}-x_{1,3}x_{2,2}\\x_{1,3}x_{2,1}-x_{1,1}x_{2,3}\\x_{1,1}x_{2,2}-x_{1,2}x_{2,1}\end{bmatrix} \end{aligned}$
同理可得给定两条直线：$l_1(L_1),l_2(L_2)$ 这两条直线点的交点为：$x=l_1\times l_2$

设两条线的齐次坐标分别为：(-1,0,1), (-1,0,2)

则这两条平行线的交点为无穷远点：
$x=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}\times(-1,0,2)^{\mathrm{T}}=(0,1,0)^{\mathrm{T}}$
第3个元素为0表示这是一个无穷远点
前两个元素表示无穷远点的方向：(0,1)表示这是一个竖直方向的无穷远点

综上所述：

• 点在直线上$:0=l^Tx=x^Tl$
• 经过两点$x_1$和$x_2$的直线：$l=x_1\times x_2$
• 两条线$l_1$和$l_2$的交点 : $x=l_1\times l_2$

因为对于任意无穷远点$x$存在直线$l=(0,0,1)^T$，使得$l^Tx=0$恒成立，所以$l$为无穷远直线

二次曲线

平面上的二次曲线：用二阶方程描述

• 非齐次坐标表示：$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
• 齐次坐标：$x\to x/w,\quad y\to y/w$代入，得到$ax^2+bxy+cy^2+dxw+eyw+fw^2=0$
• 矩阵形式：$x^{\mathrm{T}}Cx=0$，其中$C=\begin{bmatrix}a&b/2&d/2\\b/2&c&e/2\\d/2&e/2&f\end{bmatrix}$是对称矩阵，自由度为5

为每个点提供一个约束$ax_i^2+bx_iy_i+cy_i^2+dx_i+ey_i+f=0$，即$\left[x_i^2,x_iy_i,y_i^2,x_i,y_i,1\right]\boldsymbol{c}=0$，其中$c=[a,b,c,d,e,f]^{\mathrm{T}}$，可得
$\begin{bmatrix}x_1^2&x_1y_1&y_1^2&x_1&y_1&1\\x_2^2&x_2y_2&y_2^2&x_2&y_2&1\\x_3^2&x_3y_3&y_3^2&x_3&y_3&1\\x_4^2&x_4y_4&y_4^2&x_4&y_4&1\\x_5^2&x_5y_5&y_5^2&x_5&y_5&1\end{bmatrix}\mathbf{c}=\mathbf{0}$

3D

3D点

欧氏空间的3D点：$(X_1,X_2,X_3)^{\mathrm{T}}$

3D射影空间IP$^{3}$的点的齐次坐标为$x=(X_1,X_2,X_3,X_4)^{\mathrm{T}}$

当$X_4\neq0$时，$X=(\frac{X_1}{X_4},\frac{X_2}{X_4},\frac{X_3}{X_4},1)^{\mathrm{T}}=(X,Y,Z,1)^{\mathrm{T}}$

当$X_4=0$时，$(X_1,X_2,X_3,0)$表示无穷远点。

3D射影空间中的点的射影变换为：
$X$
其中$H$为4×4的非奇异矩阵，自由度为15

3D 平面

可知3D点的形式如下
$X=\begin{bmatrix}X_1\\X_2\\X_3\\X_4\end{bmatrix}$
设3D平面的形式如下
$\pi=\begin{bmatrix}\pi_1\\\pi_2\\\pi_3\\\pi_4\end{bmatrix}$
所以点在平面上可以表示为
$X_1\pi_1+X_2\pi_2+X_3\pi_3+X_4\pi_4=0$
若使用矩阵表示，则为
$0=\pi^\mathrm{T}X=X^\mathrm{T}\pi$
同理可得，平面的射影变换为
$\pi^{\prime}=H^{-T}\pi$
可知无穷远平面为$\pi_{\infty}=(0,0,0,1)^T$

因为三个点可以确定一个平面，则有三个点满足$X_1\pi_1+X_2\pi_2+X_3\pi_3+X_4\pi_4=0$

所以存在方程组

点$X$ 在由3点$(X_1, X_2, X_3)$在一个平面上，有三点共面条件可得
$\det \begin{bmatrix} X_1&X_{11}&X_{21}&X_{31}\\ X_2&X_{12}&X_{22}&X_{32}\\ X_3&X_{13}&X_{23}&X_{33}\\ X_4&X_{14}&X_{24}&X_{34}\\ \end{bmatrix} =0$
解得：$X_1D_{234}-X_2D_{134}+X_3D_{124}-X_4D_{123}=0$

$\boldsymbol{\pi}=(D_{234},-D_{123},D_{124},-D_{123})^\mathrm{T}$
可知3点 $(X_1,X_2,X_3)$ 确定的一个平面为：$(D_{234},-D_{123},D_{124},-D_{123})^{\mathrm{T}}$ ，因为$\begin{bmatrix} X_1^T\\ X_2^T\\ X_3^T \end{bmatrix} \pi=0$，即$\pi$是$\begin{bmatrix} X_1^T\\ X_2^T\\ X_3^T \end{bmatrix}$的零空间。

因为三个平面可以确定一个点，所以可得3个平面 $(\pi_1,\pi_2,\pi_3)$ 确定一个交点$X$，存在$\begin{bmatrix} \pi_1^T\\ \pi_2^T\\ \pi_3^T \end{bmatrix} X=0$，即$X$是$\begin{bmatrix} \pi_1^T\\ \pi_2^T\\ \pi_3^T \end{bmatrix}$的零空间。

3D直线

两点的连线：给定两个不重合的点A、B，连接这两个点的直 线有一个2×4的矩阵W的行的生成子空间表示：
$W=\begin{bmatrix}A^T\\B^T\end{bmatrix}$
其中$\lambda A+\mu B=0$表示直线上的点簇