2D运动模型

2D运动模型

文章目录

• 2D运动模型

• 基本运算

• 平移
• 缩放
• 错切

• 旋转

• 复合运算

• 欧式（刚体）变化
• 等距变换
• 相似变换
• 仿射变换
• 射影变换

其中相应的运动可以通过变换矩阵实现

基本运算

平移

$\begin{aligned} \begin{bmatrix}x$

$I:2\times2的单位矩阵$
$t=\begin{bmatrix}t_x,t_y\end{bmatrix}^T:2$D平移向量

缩放

缩放：坐标系的每个轴乘以一个标量/缩放因子

均匀缩放：所有轴的缩放因子相同

$\begin{aligned}\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y\\1\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}s&0&0\\0&s&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}sI&0\\0^{\mathrm{T}}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}\end{aligned}$

非均匀缩放：不同轴的缩放因子不同

$\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{s_x}&0&0\\0&{s_y}&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$

错切

方形变平行四边形，

x轴不变，沿y轴方向错切

$\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\\beta_y&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$

y轴不变，沿x轴方向错切

$\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&{\beta_x}&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$

任意一边都可以被拉长

$\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&{\beta_x}&0\\{\beta_y}&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$

旋转

$\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)&0\\\sin(\theta)&\cos(\theta)&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix}$

综上所述

平移	缩放	错切	旋转
$\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&\color{red}{t_x}\\0&1&\color{red}{t_y}\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\color{red}{s_x}&0&0\\0&\color{red}{s_y}&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&\color{red}{\beta_x}&0\\\color{red}{\beta_y}&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos({\color{red}\theta})&-\sin({\color{red} \theta})&0\\\sin({\color{red} \theta})&\cos({\color{red}\theta})&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$

复合运算

可以通过矩阵乘法得到复杂变换，矩阵乘法的顺序不同，可能会得到不同的变换。

欧式（刚体）变化

欧式（刚体）变换：（先）旋转+（后）平移
$\begin{aligned}&\quad\begin{bmatrix}r_{11}&r_{12}&t_x\\r_{21}&r_{22}&t_y\\0&0&1\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}\boldsymbol{R}(\theta)&\boldsymbol{t}\\\boldsymbol{0}^\mathrm{T}&1\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)&t_x\\\sin(\theta)&\cos(\theta)&t_y\\0&0&1\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}1&0&\boldsymbol{t}_x\\0&1&\boldsymbol{t}_y\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)&0\\\sin(\theta)&\cos(\theta)&0\\0&0&1\end{bmatrix}\end{aligned}$
其中自由度为3

等距变换

$\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\w^{\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\varepsilon}\mathrm{cos}\theta&-\mathrm{sin}\theta&{t}_x\\\varepsilon\mathrm{sin}\theta&\mathrm{cos}\theta&{t}_y\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$

其中$\varepsilon$为1或-1

不变量：（绝对）长度、角度、面积

相似变换

相似变换：均匀缩放+旋转+平移
$\begin{aligned} &\quad\begin{bmatrix}a&-b&t_x\\b&a&t_y\\0&0&1\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}sR(\theta)&t\\0^\mathrm{T}&1\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}s\cos(\theta)&-s\sin(\theta)&t_x\\s\sin(\theta)&s\cos(\theta)&t_x\\0&0&1\end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix}1&0&{t_x}\\0&1&{t_y}\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)&0\\\sin(\theta)&\cos(\theta)&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{s}&0&0\\0&{s}&0\\0&0&1\end{bmatrix} \end{aligned}$
自由度为4

不变量： 长度的比例（相对长度）、角度、面积的比例、平行线

在刚体变换中：a²+b²=1

仿射变换

仿射变换：错切+均匀缩放+旋转+平移
$\begin{aligned} &\quad\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&t_x\\a_{21}&a_{22}&t_y\\0&0&1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}s\cos(\theta)-s\sin(\theta)\beta_y&s\cos(\theta)\beta_x-s\sin(\theta)&t_x\\s\sin(\theta)+s\cos(\theta)\beta_y&s\sin(\theta)\beta_x+s\cos(\theta)&t_y\\0&0&1\end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix}1&0&{t_x}\\0&1&{t_y}\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)&0\\\sin(\theta)&\cos(\theta)&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{s}&0&0\\0&{s}&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&{\beta_x}&0\\{\beta_y}&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \end{aligned}$
自由度为6

保持了图像的“平行性”和“平直性”，即图像中原来的直线和平行线，变换后仍然保持原来的直线和平行线

不变量： 平行线、平行长度的比例、面积比例

射影变换

$\begin{bmatrix}x$

不变量：线上4点的交比（比例的比例），直线仍然是直的

综上所述

群	矩阵	失真	不变性质
射影（8DOF）	$\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}&h_{13}\\h_{21}&h_{22}&h_{23}\\h_{31}&h_{32}&h_{33}\end{bmatrix}$		共点、共线、接触的阶：相交（1阶接触）、相切（二阶接触）、拐点（3阶接触）、交比
仿射（6DOF）	$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&t_x\\a_{21}&a_{22}&t_y\\0&0&1\end{bmatrix}$		平行、面积比、平行线的长度比（如中点）、向量的线性组合（如形心）、无穷远直线l_∞_
相似（4DOF）	$\begin{bmatrix}sr_{11}&sr_{12}&t_x\\sr_{21}&sr_{22}&t_y\\0&0&1\end{bmatrix}$		长度比、角度、虚圆点 I,J
欧氏（3DOF）	$\begin{bmatrix}r_{11}&r_{12}&t_x\\r_{21}&r_{22}&t_y\\0&0&1\end{bmatrix}$		长度、面积

[!CAUTION]

给定同一条直线上的4个点$x_1,x_2,x_3,x_4$, 交比定义为：
$\cos(x_1,x_2,x_3,x_4)=\frac{\|x_1x_3\|\|x_1x_4\|}{\|x_2x_3\|\|x_2x_4\|}$
其中$\|x_{i}x_{j}\|=\det\begin{bmatrix}x_{i1}&x_{j1}\\x_{i2}&x_{j2}\end{bmatrix}$