有限体积法及其网格简介

有限体积法使目前CFD领域广泛使用的离散化方法，其特点不仅表现在对控制方程的离散结果上，还表现在所使用的网格上。

1.有限体积法的基本思想

有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法（Control Volume Method），其基本思路是：将计算区域划分为网格，并使每一个网格点周围有一个互不重复的控制体积；将待解微分方程（控制方程）对每一个控制体积积分，从而得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量。为了求出控制体体积的积分，必须假定因变量的值在网格点之间的变化规律。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权余量法中的子域法，从未知解的近似方法来看，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。

有限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足，这就是有限体积法的优点。而有限差分法仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法既使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。

2.有限体积法所使用的网格

有限体积法的核心体现在区域离散方式上，区域离散化的实质就是用有限个离散点来代替原来的连续空间。有限体积法的区域离散实施过程是：把所计算的区域划分为多个互不重叠的子区域，即计算网格（grid），然后确定每个子区域中的节点位置及该节点所代表的控制体积。区域离散化过程结束后，可以得到以下四种几何要素：

l  节点（node）：需要求解的未知物理量的几何位置。

l  控制体积（control volume）：应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。

l  界面（face）：它规定了与各节点相对应的控制体积的分界面位置。

l  网格线（grid line）：联结相邻两节点而形成的曲线簇

我们把节点看成是控制体积的代表，在离散过程中，将一个控制体积上的物理量定义并存储在该节点处。下图是一维和二维有限体积法计算网格。

控制体积有限元公式cvfem 什么是控制体积_方程组

在上面两图中，节点排列有序，即当给出一个节点的编号后，立即可以得出其相邻节点的编号。这种网格称为结构网格（structured grid）。非结构网格（unstructured grid）的节点以一种不规则的方式布置在流程中，虽然生成较复杂，却有着极大的适应性。

3.求解一维稳态问题的有限体积法

无论是连续性方程、动量方程还是能量方程，都可以写成如下的通式。一维问题的控制方程：

控制体积有限元公式cvfem 什么是控制体积_计算网格_02

称之为一维模型方程，方程中包含对流项、扩散项及源项。方程中的Φ是广义变量，可以为速度、温度或浓度等一些待求的物理量，Г是相应于Φ的广义扩散系数，S是广义源项。变量Φ在端点A和B的边界值为已知。

这里给出的是方程的守恒形式，这是因为采用有限体积法建立离散方程时，必须使用守恒形式。应用有限体积法求解方程所对应的对流-扩散问题，主要步骤如下：

1.        在计算区域内生成计算网格，包括节点及其控制体积。

2.        将守恒型的控制方程在每个控制体积上做积分（积分时要用到界面处未知量Φ及其导数的插值计算公式，即离散格式），得到离散后的关于节点未知量的代数方程组。

3.        求解代数方程式，得到个计算节点的Φ值。

生成计算网格

有限体积法的第一步是将计算域划分为离散的控制体积，在点A和点B之间的空间域上放置一系列的节点，将控制体积的边界（面）取在两个节点中间得位置，这样，每个节点由一个控制体积所包围。

建立离散方程

有限体积法关键一步是在控制体积上积分控制方程，以在控制体积节点上产生离散的方程，对一维模型方程，在图中所示的控制体积上坐积分，有：

控制体积有限元公式cvfem 什么是控制体积_方程组_03

其中△V是控制体积的体积值，当控制体很微小时，△V可以表示为△x•A，这里A是控制体积界面的面积，从而有：

控制体积有限元公式cvfem 什么是控制体积_计算网格_04

上式中对流项和扩散项均已转化为控制体积界面上的值，有限体积法最显著的特点之一就是老师方程中具有明确的物理插值，即界面的物理量要通过插值的方式由节点的物理量表示。

为了建立所需要形式的离散方程，我们需要找出如何表示界面e和w处的ρ、u、Γ、Φ和，有限体积法规定，ρ、u、Γ、Φ和等物理量均是在节点处定义和计算的。因此，为了计算界面上的这些物理参数，需要有一个物理参数在节点间的近似分布，可以想象，线性近似是可用来计算界面特性值的最直接、也是最简单的方式。这种分布叫做中心差分。如果网格是均匀的，则单个物理参数的线性插值结果是：

控制体积有限元公式cvfem 什么是控制体积_离散方程_05

控制体积有限元公式cvfem 什么是控制体积_控制体积有限元公式cvfem_06

与梯度项相关的扩散通量的线性插值结果是：

控制体积有限元公式cvfem 什么是控制体积_控制体积有限元公式cvfem_07

对于源项S，它通常是时间和物理量Φ的函数，为了简化处理，经常将S转化为如下线性方式：

控制体积有限元公式cvfem 什么是控制体积_离散方程_08

其中Sc是常数，Sp是随时间和物理量变化的项，将以上线性插值的结果代回方程可得：

控制体积有限元公式cvfem 什么是控制体积_有限体积法_09

整理后得：

控制体积有限元公式cvfem 什么是控制体积_有限体积法_10

记作：

控制体积有限元公式cvfem 什么是控制体积_计算网格_11

控制体积有限元公式cvfem 什么是控制体积_离散方程_12

对于一维问题，控制体积界面e和w处的面积A均为1，即单位面积，△V=△X.

离散方程的求解

为了求解所给出的流体流动问题，必须在整个计算域的每个节点上建立离散方程，从而每个节点有一个对应的方程，这些方程组成一个含有节点未知量的线性代数方程组，求解这个方程组就可以得到物理量在各节点处的值。理论上，任何可用于求解代数方程组的方法：Gauss消去法都可以完成上述任务。