本文实例讲述了Java矩阵连乘问题(动态规划)算法。分享给大家供大家参考，具体如下：
问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。
问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
(1)单个矩阵是完全加括号的；
(2)矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)
例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。
看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次
所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。
算法思路：
例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是：
A1：30*35; A2：35*15; A3：15*5; A4：5*10; A5：10*20; A6：20*25
递推关系：
设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。
当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
当i
综上，有递推关系如下：
构造最优解：
若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。
package Matrix;
public class Matrix {
public static void MatrixChain(int[] p,int n, int[][] m, int[][] s) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
m[i][i] = 0;
}
for(int r = 2;r <= n; r++ ) {
for(int i = 1; i <= n-r+1; i++) {
int j = i+r-1;
m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j] = i;
for(int k = i+1; k < j; k++) {
int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t < m[i][j]) {
m[i][j] = t;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
}
public static void Traceback(int i, int j, int[][] s) {
if(i == j) return;
Traceback(i,s[i][j],s);
Traceback(s[i][j] + 1,j,s);
System.out.println("Multiply A" + i + "," + s[i][j] + "and A" + (s[i][j] + 1) + "," + j);
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println("脚本之家测试结果：");
Matrix mc = new Matrix();
int n = 7;
int p[] = { 30, 35, 15, 5, 10, 20, 25 };
int m[][] = new int[n][n];
int s[][] = new int[n][n];
int l = p.length-1;
mc.MatrixChain(p, l,m, s);
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
System.out.print(m[i][j] + "\t");
}
System.out.println();
}
System.out.println();
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
System.out.print(s[i][j]+" ");
}
System.out.println();
}
mc.Traceback( 1, 6, s);
}
}运行结果：
希望本文所述对大家java程序设计有所帮助。
